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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

ment petits du second ordre et des ordres supérieurs, on aura

$\cos \alpha ={\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial x}},$

où l’on voit que l’angle $\alpha$ ne diffère d’un angle droit que par des quantités infiniment petites, puisque son cosinus est infiniment petit.

14. Si l’on applique la même analyse aux deux autres faces $dx\,dz,$ $dy\,dz$ du rectangle $dx\,dy\,dz,$ on trouvera que ces faces se changent aussi en parallélogrammes ; de sorte que les trois faces opposées seront aussi des parallélogrammes, comme on peut le démontrer facilement par la Géométrie. Par conséquent, le nouveau solide sera un parallélépipède dont les côtés qui forment un angle solide seront

$dx\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right),\qquad dy\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right),\qquad dz\left(1+{\frac {\partial \delta z}{\partial z}}\right),$

et nommant $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles compris entre ces côtés, on aura

${\begin{aligned}\cos \alpha =&{\frac {\partial \delta x}{\partial y}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial x}},\\\cos \beta =&{\frac {\partial \delta x}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta z}{\partial x}},\\\cos \gamma =&{\frac {\partial \delta y}{\partial z}}+{\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on peut conclure que la variation du parallélépipède rectangulaire $dx\,dy\,dz$ est rigoureusement exprimée par la formule donnée plus haut (art. 11).

15. On voit aussi par là que, si les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ n’étaient fonctions respectivement que de $x,\,y,\,z,$ on aurait rigoureusement

$\cos \alpha =0,\qquad \cos \beta =0,\qquad \cos \gamma =0\,;$

de sorte que le parallélépipède rectangle $dx\,dy\,dz$ demeurerait rectangle après la variation. Or, comme le changement de forme de ce