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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

nées pour les deux angles adjacents à chaque côté. Ainsi, en marquant la droite qui joint deux angles par la réunion des deux numéros qui répondent à ces angles, on aura

${\begin{aligned}(1,2)=&dx{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta y}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}\right)^{2}}},\\(1,3)=&dy{\sqrt {\left({\frac {\partial \delta x}{\partial y}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\right)^{2}}},\\(3,4)=&dx{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta y}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}\right)^{2}}},\\(2,4)=&dy{\sqrt {\left({\frac {\partial \delta x}{\partial y}}\right)^{2}+\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial y}}\right)^{2}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on voit que les côtés opposés $(1,2),\,(3,4)$ sont égaux entre eux, ainsi que les côtés opposés $(1,3),\,(2,4),$ et que, par conséquent, le quadrilatère est un parallélogramme dont les deux côtés contigus $(1,2),\,(1,3)$ seront, en négligeant sous le signe les quantités du second ordre vis-à-vis de celles du premier,

$(1,2)=dx\left(1+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}\right),\qquad (1,3)=dy\left(1+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right).$

13. À l’égard de l’angle compris par ces deux côtés, on le trouvera par le moyen de la diagonale $(2,3),$ laquelle, en prenant de même la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordonnées respectives des systèmes $(2)$ et $(3),$ devient

$(2,3)={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial \delta x}{\partial x}}dx-{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}dy\right)^{2}+\left(dy+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}dy-{\frac {\partial \delta y}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial \delta z}{\partial x}}dx-{\frac {\partial \delta z}{\partial y}}dy\right)^{2}}}.$

Or, en nommant $\alpha$ l’angle dont il s’agit, le triangle formé par les trois côtés $(1,2),(1,3),(2,3)$ donne

$\cos \alpha ={\frac {(1,2)^{2}+(1,3)^{2}-(2,3)^{2}}{2(1,2)\times (1,3)}}.$

Substituant dans cette expression les valeurs trouvées de $(1,2),\,(1,3),\,(2,3),$ effaçant les termes qui se détruisent et négligeant les infini-