Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/225

207

PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

parallélépipède rectangulaire, et en supposant seulement, ce qui est exact dans l’infiniment petit, que ces côtés demeurent rectilignes.

12. Pour simplifier cette recherche, nous commencerons par ne considérer qu’une des faces du parallélépipède $dx\,dy\,dz,$ par exemple la face $dx\,dy,$ dont les quatre angles répondent à ces quatre systèmes de coordonnées,

(1)

$x,\quad y,\quad z,$

(2)

$x+dx,\quad y,\quad z,$

(3)

$x,\quad y+dy,\quad z,$

(4)

$x+dx,\quad y+dy,\quad z,$

Supposons que les coordonnées $x,\,y,\,z$ du premier système deviennent $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$ et regardons les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ comme des fonctions infiniment petites de $x,\,y,\,z\,;$ en faisant croître successivement les $x,\,y$ de leurs différentielles $dx,\,dy,$ on trouvera ce que doivent devenir simultanément les coordonnées des trois autres systèmes. Ainsi, en marquant par les mêmes numéros les systèmes variés, on aura

(1)

$x+\delta x,\quad y+\delta y,\quad z+\delta z,$

(2)

$x+dx+\delta x+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx,\quad y+\delta y+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial x}}dx,\quad z+\delta z+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial x}}dx,$

(3)

$x+\delta x+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial y}}dy,\quad y+dy+\delta y+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dy,\quad z+\delta z+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial y}}dy,$

(4)

$\left\{{\begin{aligned}x+&dx+\delta x+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial y}}dy,\\y+&dy+\delta y\ +{\frac {\partial \,\delta y}{\partial x}}\,dx+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dy,\\z+&\delta z+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial x}}dx+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial y}}dy.\end{aligned}}\right.$

Comme ces quatre systèmes de coordonnées répondent aux quatre angles du nouveau quadrilatère dans lequel s’est changé le rectangle $dx\,\,dy,$ il est clair qu’on aura les côtés de ce quadrilatère en prenant la racine carrée de la somme des carrés des différences des coordon-