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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

lequel est formé par l’accroissement $dx$ que la coordonnée $x$ reçoit tandis que les deux autres, $y$ et $z,$ ne varient pas, il faut que, dans la différentiation de $\delta x,$ la seule $x$ soit censée variable ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d’écrire simplement $d\,\delta x,$ il faudra écrire ${\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}dx\,;$ de même, et par un raisonnement semblable, on écrira ${\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}dy$ et ${\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}dz$ au lieu de $d\,\delta y$ et $d\,\delta z.$ De cette manière, dans l’hypothèse que la particule $dx\,dy\,dz$ demeure rectangulaire après la variation, on aura

$\delta (dx\,dy\,dz)=dx\,dy\,dz\left({\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right).$

Il en serait encore de même si l’on supposait que la particule $dx\,dy\,dz$ devînt, par la variation, un parallélépipède dont les angles différassent infiniment peu de l’angle droit ; car on sait, par la Géométrie, que, si $a,\,b,\,c$ sont les trois côtés d’un parallélépipède qui forment un angle solide, et $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélépipède, est exprimée par la formule

$abc{\sqrt {\left(1-\cos ^{2}\alpha -\cos ^{2}\beta -\cos ^{2}\gamma +2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma \right)}}.$

Or les côtés deviennent, par la variation,

$dx\left(1+{\frac {\partial \,\delta x}{\partial x}}\right),\qquad dy\left(1+{\frac {\partial \,\delta y}{\partial y}}\right),\qquad dz\left(1+{\frac {\partial \,\delta z}{\partial z}}\right),$

et les cosinus de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ deviennent infiniment petits ; ainsi, en substituant ces valeurs au lieu de $a,\,b,\,c,$ et négligeant les infiniment petits des ordres supérieurs au premier, on aura, pour la variation de $dx\,dy\,dz,$ la même expression qu’on vient de trouver.

Mais, quoique cette dernière hypothèse soit légitime, nous ne voulons pas l’adopter sans démonstration, pour ne rien laisser à désirer sur l’exactitude de nos formules. Nous allons donc chercher, d’une manière rigoureuse, la variation de $dx\,dy\,dz,$ en ayant égard à la fois au changement de position et de longueur de chacun des côtés d’un