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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

9. Lorsque les lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ se rapportent à un point dans l’espace, comme dans le cas présent, elles ne peuvent dépendre que des trois coordonnées de ce point et les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordonnées (sect. V, art. 7). Ainsi, en prenant $p,\,q,\,r$ pour ces coordonnées, soit rectangles ou non^[1], et $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il faudra que les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,$ regardées comme des fonctions de $p,q,r,$ satisfassent à ces trois équations

{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}=0,\qquad {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}=0,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}=0.

Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R}$ qui agissent sur tous ses points.

Au reste, on a fait abstraction jusqu’ici de la densité du fluide, ou plutôt on l’a regardée comme constante et égale à l’unité ; mais, si l’on voulait la supposer variable, alors, en nommant $\Gamma$ la densité d’une particule quelconque $d\mathrm {m} ,$ on aurait (art. 2)

d\mathrm {m} =\Gamma \omega \,ds\,;

et les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ se trouveraient toutes multipliées par $\Gamma .$ Ainsi, l’on aura pour l’équilibre des fluides de densité variable les mêmes lois que pour l’équilibre des fluides de densité uniforme, en multipliant seulement les différentes forces par la densité du point sur lequel elles agissent, c’est-à-dire en écrivant simplement $\mathrm {\Gamma P,\,\Gamma Q,\,\Gamma R} ,\ldots$ à la place de $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$

↑ Cette assertion n’est pas exacte. Si $\mathrm {P,\,Q,\,R}$ désignaient les composantes parallèles à trois axes obliques et $p,\,q,\,r$ les coordonnées relatives à ces axes, la somme des moments virtuels ne serait pas $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr$ et les raisonnements qui précèdent ne pourraient pas s’appliquer. (J. Bertrand.)

[1] Cette assertion n’est pas exacte. Si $\mathrm {P,\,Q,\,R}$ désignaient les composantes parallèles à trois axes obliques et $p,\,q,\,r$ les coordonnées relatives à ces axes, la somme des moments virtuels ne serait pas $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr$ et les raisonnements qui précèdent ne pourraient pas s’appliquer. (J. Bertrand.)

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