Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/220

202

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

$\delta \Psi =0,$ il faudra que cette partie soit nulle d’elle-même et que, par conséquent, on ait pour chaque point de la masse fluide l’équation identique

$\delta \mathrm {P} \,dp-d\mathrm {P} \,\delta p+\delta \mathrm {Q} \,dq-d\mathrm {Q} \,\delta q+\delta \mathrm {R} \,dr-d\mathrm {R} \,\delta r+\ldots =0.$

En regardant les expressions des forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ comme des fonctions quelconques de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ on aura, suivant la notation reçue,

$d\mathrm {P} ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial p}}dp+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}dq+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}dr+\ldots \,;$

de même

$\delta \mathrm {P} ={\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial p}}\delta p+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}\delta r+\ldots ,$

et ainsi des autres différences. Substituant ces valeurs dans l’équation précédente et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme

${\begin{aligned}0=&+\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}\right)(\delta q\,dp-dq\,\delta p)\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}\right)(\delta r\,dp-dr\,\delta p)\\&+\left({\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}\right)(\delta r\,dq-dr\,\delta q)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

et devra avoir lieu indépendamment des différences $dp,\,dq,\,dr,\ldots \,;$ $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots .$

Donc, s’il n’y a aucune relation donnée entre les variables $p,\,q,\,r,\ldots ,$ il faudra faire séparément

${\begin{aligned}&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial q}}-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial p}}=0,\\&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial p}}=0,\\&{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}-{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial q}}=0,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ce sont les équations de condition connues pour l’intégrabilité de la formule

$\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots .$