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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION VII.

l’analyse même et trouver en même temps les relations qui doivent avoir-lieu entre les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots .$ Pour cela, il n’y a qu’à faire varier l’intégrale

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

par la méthode des variations et supposer sa variation nulle.

8. Dénotons en général par $\Psi$ la valeur de l’intégrale

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

prise par toute la longueur du canal ; il faudra que l’on ait

$\delta \Psi =0.$

Or on a, par la différentiation,

$\delta \Psi =\delta$_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

$=$_S$\delta (\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )$

$=$_S$(\mathrm {P} \delta \,dp+\mathrm {Q} \delta \,dq+\mathrm {R} \delta \,dr+\ldots +\delta \mathrm {P} dp+\delta \mathrm {Q} dq+\delta \mathrm {R} dr+\ldots ).$

Changeants $\delta d$ en $d\delta$ et faisant ensuite disparaître le double signe $d\delta$ par des intégrations par parties, on aura

$\delta \Psi =\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots$

$+$_S$(\delta \mathrm {P} dp-d\mathrm {P} \delta p+\delta \mathrm {Q} dq-d\mathrm {Q} \delta q+\delta \mathrm {R} dr-d\mathrm {R} \delta r+\ldots ),$

où les termes qui sont hors du signe _S se rapportent aux extrémités de l’intégrale représentée par ce signe et répondent, par conséquent, aux bouts du canal ; de sorte qu’en supposant ces bouts fixes, les variations $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots$ qui y répondent seront nulles, et les termes dont il s’agit s’évanouiront d’eux-mêmes.

Maintenant, comme les quantités $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qui représentent les forces sont ou peuvent toujours être supposées des fonctions de $p,\,q,\,r,\ldots ,$ il est clair que la partie de $\delta \Psi$ qui est affectée du signe _S n’est plus susceptible de réduction ; donc, pour que l’on ait en général