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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

en nommant $\omega ''$ la section du canal dans cet endroit, l’équation

${\frac {\Pi '}{\omega '}}+{\frac {\Pi ''}{\omega ''}}+$_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0$

pour l’équilibre du fluide.

6. Donc, si le fluide n’est pressé que par les deux forces extérieures $\Pi '$ et $\Pi ''$ appliquées aux surfaces $\omega '$ et $\omega '',$ il faudra, pour l’équilibre, que l’on ait ${\frac {\Pi '}{\omega '}}+{\frac {\Pi ''}{\omega ''}}=0\,;$ d’où l’on voit que les deux forces $\Pi '$ et $\Pi ''$ doivent être de directions contraires, et en même temps réciproquement proportionnelles aux surfaces $\omega ',\omega ''$ sur lesquelles ces forces agissent, proposition qu’on regarde communément comme un principe d’expérience, ou du moins comme une suite du principe de l’égalité de pression en tout sens, dans lequel la plupart des auteurs d’Hydrostatique font consister la nature des fluides.

7. La connaissance des lois de l’équilibre d’un fluide renfermé dans un canal très étroit et de figure quelconque peut conduire à celle des lois de l’équilibre d’une masse quelconque de fluide renfermée dans un vase ou non.

Car il est évident que, si une masse fluide est en équilibre et qu’on imagine un canal quelconque qui la traverse, le fluide contenu dans ce canal sera aussi en équilibre de lui-même, c’est-à-dire indépendamment de tout le reste du fluide. On aura donc pour l’équilibre de ce canal, en faisant abstraction des forces extérieures (art. 2),

_S$(\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots )=0.$

Et, comme la figure du canal doit être indéterminée, l’équation précédente devra être indépendante de cette figure ; d’où l’on pourrait conclure tout de suite, comme Clairaut l’a fait dans sa Théorie de la figure de la Terre, que la quantité $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ doit être une différentielle exacte. Mais on peut arriver à cette conclusion par