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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

courbe du tuyau. On aura ainsi $\omega ={\frac {\alpha }{\delta s}}$ et, par conséquent, $dm={\frac {\alpha ds}{\delta s}}\,;$ de sorte que la formule qui exprime la somme des moments des forces deviendra, en faisant sortir hors du signe intégral la quantité constante $\alpha ,$

$\alpha$_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ){\frac {ds}{\delta s}}.$

Maintenant il est visible que, puisque $\delta p,\,\delta q,\,\delta r,\ldots$ sont les variations des lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ résultantes de la variation $\delta s,$ ces variations doivent avoir entre elles les mêmes rapports que les différentielles $dp,\,dq,\,dr,\ldots ,\ ds,$ à cause de la figure du canal donnée ; ainsi l’on aura

${\frac {\delta p}{\delta s}}={\frac {dp}{ds}},\qquad {\frac {\delta q}{\delta s}}={\frac {dq}{ds}},\qquad {\frac {\delta r}{\delta s}}={\frac {dr}{ds}},\qquad \ldots ,$

ce qui réduira la formule précédente à cette forme

$\alpha$_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots ),$

où les différentielles $dp,\,dq,\,dr,\ldots$ se rapportent à la courbe du canal, et le signe _S indique une intégrale prise par toute l’étendue du canal.

Faisant donc cette quantité égale à zéro, on aura l’équation

_S$(\mathrm {P} \delta p+\mathrm {Q} \delta q+\mathrm {R} \delta r+\ldots )=0,$

laquelle contient la loi générale de l’équilibre d’un fluide renfermé dans un canal de figure quelconque.

3. Si, outre les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ qui animent chaque point du fluide, il y avait de plus à l’une des extrémités, du canal une force extérieure $\Pi '$ qui agît par le moyen d’un piston sur la surface du fluide et perpendiculairement aux parois du canal ; alors, dénotant par $\delta s'$ le petit espace parcouru par la tranche du fluide qu’on suppose pressée par la force $\Pi ',$ tandis que les autres tranches parcourent les différents espaces $\delta s,$ il faudra ajouter à la somme des moments des