Cet Ouvrage, qu’on peut regarder comme un des plus précieux restes de l’Antiquité, est divisé en deux Livres. Dans le premier, Archimède pose ces deux principes, qu’il regarde comme des principes d’expérience, et sur lesquels il fonde toute sa théorie : 1o que la nature des fluides est telle, que les parties moins pressées sont chassées par celles qui le sont davantage, et que chaque partie est toujours pressée par tout le poids de la colonne qui lui répond verticalement ; 2o que tout ce qui est poussé en haut par un fluide est toujours poussé suivant la perpendiculaire qui passe par son centre de gravité.
Du premier principe, Archimède conclut d’abord que la surface d’un fluide, dont toutes les parties sont supposées peser vers le centre de la Terre, doit être sphérique pour que le fluide soit en équilibre. Ensuite il démontre qu’un corps aussi pesant qu’un égal volume du fluide doit s’y enfoncer tout à fait, parce qu’en considérant deux pyramides égales du fluide supposé en équilibre autour du centre de la Terre, celle où le corps ne serait plongé qu’en partie exercerait une plus grande pression que l’autre sur le centre de la Terre ou, en général, sur une surface sphérique quelconque qu’on imaginerait autour de ce centre. Il prouve, de la même manière, que les corps plus légers qu’un égal volume du fluide ne peuvent s’y enfoncer que jusqu’à ce que la partie submergée occupe la place d’un volume de fluide aussi pesant que le corps entier ; d’où il déduit ces deux théorèmes hydrostatiques, que les corps plus légers que des volumes égaux d’un fluide, y étant plongés, en sont repoussés de bas en haut avec une force égale à l’excès du poids du fluide déplacé sur celui du corps plongé, et que les corps plus pesants y perdent une partie de leur poids égale à celui du fluide déplacé.
Archimède se sert ensuite de son second principe pour établir les lois de l’équilibre des corps qui flottent sur un fluide ; il démontre que toute section de sphère plus légère qu’un volume égal du fluide, y étant plongée, doit nécessairement se disposer de manière que la base en soit horizontale ; et sa démonstration consiste à faire voir que, si la base était inclinée, le poids total du corps, considéré comme concentré
