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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

mais aussi à toutes les autres qu’on pourrait trouver à l’infini, et qui sont toutes renfermées dans cette équation générale

$d^{n}x\,d^{n}\,\delta x+d^{n}y\,d^{n}\,\delta y+d^{n}z\,d^{n}\,\delta z=0.$

Telles sont donc les valeurs de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ pour un système quelconque de points unis ensemble de manière qu’ils conservent toujours entre eux les mêmes distances ; ainsi ces valeurs serviront non seulement pour le cas d’une courbe quelconque mobile et invariable dans sa figure, mais aussi pour le cas d’un corps solide de figure quelconque.

Euler a trouvé le premier ces formules simplés et élégantes pour exprimer les variations des coordonnées de tous les points d’un corps solide mobile dans l’espace. Il y est parvenu par des considérations tirées du Calcul différentiel, mais différentes de celles qui nous y ont conduit, et, ce me semble, moins rigoureuses^[1]. Voir, dans le Volume de l’Académie de Berlin pour 1750, le Mémoire intitulé : Découverte d’un nouveau principe de Mécanique.

61. Puis donc que les valeurs précédentes de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ satisfont déjà aux équations de condition du problème, il est clair qu’il suffira de les substituer dans la formule

_S$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)d\mathrm {m}$

et de faire en sorte qu’elle devienne nulle, indépendamment des quantités $\delta l,\,\delta m,\,\delta n$ $\mathrm {\delta L,\,\delta M,\,\delta N} ,$ qui sont les seules indéterminées qui restent.

Or, comme ces quantités sont les mêmes pour tous les points du corps, il faudra dans la substitution les faire sortir hors du signe _S ; et l’on aura conséquemment cette équation générale de l’équilibre d’un

1. La démonstration d’Euler est, il est vrai, moins directe que celle de Lagrange ; mais il m’a été impossible de découvrir le point de vue sous lequel on peut l’accuser de manquer de rigueur. (J. Bertrand.)