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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

sième équation de l’article cité deviendront

$d^{2}\delta y\,d^{2}\delta y+d^{2}z\,d^{2}\delta z=0\qquad {\text{et}}\qquad d^{3}yd^{3}\delta y+d^{3}zd^{3}\delta z=0.$

La première de ces équations donne d’abord $d^{2}\delta y=-{\frac {d^{2}z}{d^{2}y}}d^{2}\delta z$ et, différentiant,

$d^{3}\delta y=-{\frac {d^{2}z}{d^{2}y}}d^{3}\delta z-\left[{\frac {d^{3}z}{d^{2}y}}-{\frac {d^{2}zd^{3}y}{\left(d^{2}y\right)^{2}}}\right]d^{2}\delta z\,;$

cette valeur étant substituée dans la seconde équation, elle se trouvera toute divisible par $d^{3}z-{\frac {d^{3}yd^{2}z}{d^{2}y}},$ et l’on aura, après la division,

$d^{3}\delta z-{\frac {d^{3}y}{d^{2}y}}d^{2}\delta z=0\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$d^{2}\delta z=\delta \mathrm {L} d^{2}y,$

$\delta \mathrm {L}$ étant une constante. Ayant $d^{2}\delta z,$ on trouvera

$d^{2}\delta y=-\delta \mathrm {L} d^{2}z\,;$

donc, intégrant de nouveau et ajoutant les constantes $-\delta \mathrm {M} dx,\,\,\delta \mathrm {N} dx,$ on aura

$d\delta z=\mathrm {L} dy-\delta \mathrm {M} dx,\qquad d\delta y=-\delta \mathrm {L} dz+\delta \mathrm {N} dx\,;$

et, ces valeurs étant substituées dans la première équation de condition, savoir

$dx\,d\,\delta x+dy\,d\,\delta y+dz\,d\,\delta z=0,$

il viendra

$d\,\delta x=-\delta \mathrm {N} dy+\delta \mathrm {M} dz.$

Enfin on aura, par une troisième intégration et par l’addition des nouvelles constantes $\delta l,\,\delta m,\,\delta n,$

${\begin{aligned}\delta x=&\delta l\ \ -y\ \delta \mathrm {N} +z\,\delta \mathrm {M} ,\\\delta y=&\delta m+x\,\delta \mathrm {N} -z\,\delta \mathrm {L} ,\\\delta z=&\delta n\ -x\delta \mathrm {M} +y\,\delta \mathrm {L} .\end{aligned}}$

Et il est facile de se convaincre que ces expressions ne satisfont pas seulement aux trois premières équations de condition de l’article 53,