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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

trois quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$^[1]. Ainsi les trois conditions dont il s’agit, rapportées à la courbe, se réduisent à ce qu’elle soit donnée, comme le problème le suppose^[2].

On pourrait étendre l’analyse de ce problème au cas d’une surface ou d’un solide dont tous les points seraient tirés par des forces quelconques mais nous allons faire voir comment on peut la simplifier en partant des mêmes équations de condition et en déterminant d’avance par ces équations la forme des variations des coordonnées.

CHAPITRE IV.

De l’équilibre d’un corps solide de grandeur sensible et de figure quelconque, dont tous les points sont tirés par des forces quelconques.

60. Puisque la condition de la solidité du corps consiste en ce que tous ses points conservent constamment entre eux la même position et les mêmes distances, on aura entre les variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ les mêmes équations de condition qu’on a trouvées dans l’article 53 car il est visible qu’en imaginant dans l’intérieur du corps une courbe quelconque, il suffira que tous ses points gardent les mêmes distances entre eux, quelque mouvement que le corps reçoive ; ainsi l’on pourra, par leur moyen, déterminer immédiatement les valeurs de ces variations.

Pour cela, je remarque que, comme en passant aux différences secondes il est toujours permis de prendre une des différences premières pour constante, on peut supposer $dx$ constante et, par conséquent, $d^{2}x=0,\,d^{3}x=0,\ldots ,$ moyennant quoi la deuxième et la troi-

1. Cette seconde courbure dépend aussi de $d\beta .$ (J. Bertrand.)
   
2. On voit, d’après les résultats précédents, que deux courbes sont superposables lorsque les rayons de première et de seconde courbure s’expriment, dans l’une et dans l’autre, par une même fonction de l’arc. Si donc deux courbes ont l’une et l’autre leurs rayons de courbure constants et égaux chacun à chacun, ces courbes sont identiques ; et, comme on peut toujours déterminer une hélice dont les rayons de courbure soient donnés, toute courbe qui a ses rayons de courbure constants est une hélice. Plusieurs géomètres ont donné des démonstrations élégantes de ce théorème. Voir deux Notes, l’une de M. Puiseux, l’autre de M. Serret, Journal de Mathématiques de Liouville, I^re série, t. VII, p. 65, et t. XVI, p. 193. (J. Bertrand.)