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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

parce que l’inflexibilité exprimée analytiquement consiste dans l’invariabilité des distances mutuelles des points du fil. Et si, dans ce cas, la courbe étant donnée, elle ne doit plus être un résultat du calcul comme dans le cas d’un fil flexible, c’est une circonstance que l’analyse doit indiquer et qu’elle indique, en effet, par les trois indéterminées $\lambda ,\mu ,\nu$ qui restent dans les trois équations indéfinies entre $x,y,z$ de l’article 55, et qui font que ces équations peuvent s’adapter à une courbe quelconque donnée. Ainsi l’on ne doit pas regarder ces équations comme une superfluité inutile ; outre qu’elles servent à déterminer les trois inconnues $\lambda ,\mu ,\nu ,$ d’où dépendent les conditions de l’équilibre, et qui expriment^[1] en même temps les forces qui s’opposent à ce que les valeurs des trois fonctions $\alpha ,\beta ,\gamma$ varient par l’effet des forces qui agissent sur le fil.

Il est vrai que les trois indéterminées $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ doivent être remplacées par les trois équations de condition qui consistent en ce que les fonctions différentielles $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ doivent être censées données. Mais, comme, par la nature du Calcul différentiel, la valeur absolue des différentielles reste indéterminée et qu’il n’y a que leur rapport qui puisse être donné, ces trois conditions ne peuvent équivaloir qu’à deux, qui renferment les rapports des trois quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \,;$ et ces deux rapports suffisent pour déterminer la courbe.

En effet, par ce qu’on a démontré plus haut (art. 46), on voit que l’angle de contingence formé par deux côtés successifs de la courbe se trouve exprimé par ${\frac {\sqrt {4\alpha \beta -d\alpha ^{2}}}{2\alpha }},$ en conservant les valeurs de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ de l’article 53 ; de sorte que le rayon osculateur sera exprimé par ${\frac {2\alpha {\sqrt {\alpha }}}{\sqrt {4\alpha \beta -d\alpha ^{2}}}}.$ Ce rayon étant donc supposé donné, la courbe sera donnée si elle est à simple courbure, et, pour les courbes à double courbure, il ne sera pas difficile de prouver que la seconde courbure, provenant de l’angle de contingence formé par les plans qui passent successivement par deux éléments contigus de la courbe, dépendra du rapport des

1. Voir la note relative à l’article 53. (J. Bertrand.)