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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Donc les constantes $\mathrm {A,B,C}$ auront encore les valeurs

$\mathrm {A} =$_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} ,\quad \mathrm {B} =$_S$\mathrm {Y} d\mathrm {m} ,\quad \mathrm {C} =$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} \,;$

ensuite les trois dernières intégrales de l’article 55, étant appliquées au dernier point de la verge, donneront

$\mathrm {F} =$_S$(\mathrm {Y} x-\mathrm {X} y)dm,\quad \mathrm {G} =$_S$(\mathrm {Z} x-\mathrm {X} z)dm,\quad \mathrm {H} =$_S$(\mathrm {Z} y-\mathrm {Y} z)dm.$

Et, si l’on applique ces mêmes équations au premier point, on aura

${\begin{aligned}\mu '\left(dy'd^{2}x'-dx'd^{2}y'\right)-&\nu '\left(dy'd^{3}x'-dx'd^{3}y'\right)=\mathrm {A} y'-\mathrm {B} x'+\mathrm {F} ,\\\mu '\left(dz'd^{2}x'-dx'd^{2}z'\right)-&\nu '\left(dz'd^{3}x'-dx'd^{3}z'\right)=\mathrm {A} z'\,-\mathrm {C} x'+\mathrm {G} ,\\\mu '\left(dz'd^{2}y'-dy'\,d^{2}z'\right)-&\nu '\left(dz'd^{3}y'\,-dy'd^{3}z'\right)=\mathrm {B} z'\ -\mathrm {C} y'+\mathrm {H} ,\end{aligned}}$

d’où, éliminant $\mu '$ et $d\nu ',$ résulte l’équation

${\begin{aligned}\mathrm {A} (y'dz'-z'dy')+\mathrm {B} (z'dx'-x'dz')+&\mathrm {C} (x'dy'-y'dx')\\+&\mathrm {F} dz'-\mathrm {G} dy'+\mathrm {H} dx'=0.\end{aligned}}$

Cette équation est nécessaire pour empêcher que la verge ne tourne autour de sa première tangente, qui est supposée fixe, et il est facile de voir que son premier membre devient nul lorsque la verge est une ligne droite.

59. On pourrait regarder comme un défaut de notre méthode la longueur de cette solution, qui est, en effet, plus longue que celle de l’équilibre d’un fil flexible ; tandis que, par les méthodes ordinaires, ce dernier problème est beaucoup plus difficile que celui de l’équilibre d’une verge raide tirée par des puissances quelconques, parce qu’il faut déterminer, par la composition des forces, la courbe que le fil doit prendre pour être en équilibre, au lieu que, dans le cas de la verge, cette courbe est donnée et que l’équilibre ne demande que la destruction des moments des forces. Mais, lorsqu’on veut suivre pour tous ces problèmes une marche uniforme et passer de l’un à l’autre graduellement, à mesure qu’on y ajoute de nouvelles conditions, il est évident que le cas d’un fil inflexible est moins simple que celui d’un fil flexible,