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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

et les trois autres équations se réduiront à celles-ci

$-$_S$(\mathrm {X} y-\mathrm {Y} x)d\mathrm {m} =\mathrm {B} x'-\mathrm {A} y',$

$-$_S$(\mathrm {X} z-\mathrm {Z} x)d\mathrm {m} =\mathrm {C} x'-\mathrm {A} z',$

$-$_S$(\mathrm {Y} z\,-\mathrm {Z} y)d\mathrm {m} =\mathrm {C} y'-\mathrm {B} z',$

c’est-à-dire à

_S$(\mathrm {X} y-\mathrm {Y} x)d\mathrm {m} +x'$_S$\mathrm {Y} d\mathrm {m} -y'$_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} =0,$

_S$(\mathrm {X} z\,-\mathrm {Z} x)d\mathrm {m} +x'$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} \,-z'$_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} =0,$

_S$(\mathrm {Y} z\,-\mathrm {Z} y)d\mathrm {m} +y'$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} \ -z'$_S$\mathrm {Y} \,d\mathrm {m} =0,$

ou, ce qui est la même chose, à

_S$\left[\mathrm {X} (y-y')-\mathrm {Y} (x-x')\right]d\mathrm {m} =0,$

_S$\left[\mathrm {X} (z-z')\,-\mathrm {Z} (x-x')\right]d\mathrm {m} =0,$

_S$\left[\mathrm {Y} (z-z')\,-\mathrm {Z} (y\ -y')\right]d\mathrm {m} =0.$

Ce sont les seules condition s nécessaires pour l’équilibre, et il est clair qu’elles répondent à celles que l’on a trouvées dans l’article 24.

58. Si la verge était fixement attachée par sa première extrémité, en sorte que non seulement le premier point de la courbe fût fixe, mais aussi la tangente à ce premier point, alors on aurait non seulement.

$\delta x'=0,\qquad \delta y'=0,\qquad \delta z'=0,$

mais aussi

$\delta \,dx'=d\,\delta \,x'=0,\qquad \delta \,dy'=d\,\delta y'=0,\qquad \delta \,dz'=d\,\delta z'=0\,;$

par conséquent, tous les termes affectés de ces quantités disparaîtraient d’eux-mêmes et il ne resterait qu’à faire évanouir les termes affectés de $d^{2}\delta x',\,d^{2}\delta y',$ $d^{2}\delta z'$ et de $\delta x'',\,\delta y'',\,\delta z'',$ $d\delta x'',\,d\delta y'',\ldots .$

On n’aura donc, dans ce cas, que ces conditions

$\nu '=0,\quad \lambda ''=0,\quad \mu ''=0,\quad \nu ''=0,\quad d\mu ''=0,\quad d\nu ''=0,\quad d^{2}\nu ''=0.$