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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

équation indéfinie entre les différentes forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ qu’on suppose appliquées à tous les points de la verge et les conditions de l’équilibre dépendront uniquement des termes qui sont hors du signe _S. Mais, comme ces termes contiennent les inconnues $\lambda ,\mu ,\nu$ il faudra commencer par déterminer ces inconnues.

Pour cela, il faut intégrer les équations précédentes, ce qui est facile, et l’on aura ces trois-ci

${\begin{alignedat}{3}&\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -&\lambda dx+&d\left(\mu d^{2}x\right)-&d^{2}\left(\nu d^{3}x\right)=&\mathrm {A} ,\\&\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} -&\lambda dy+&d\left(\mu d^{2}y\right)-&d^{2}\left(\nu d^{3}y\right)=&\mathrm {B} ,\\&\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} -&\lambda dz+&d\left(\mu d^{2}z\right)-&d^{2}\left(\nu d^{3}z\right)=&\mathrm {C} ,\\\end{alignedat}}$

$\mathrm {A,B,C}$ étant trois constantes arbitraires.

Ces équations donnent, par l’élimination de $\lambda ,$ ces trois autres-ci

${\begin{alignedat}{3}&dy\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -&dx\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} +&dyd\left(\mu d^{2}x\right)&-&dxd\left(\mu d^{2}y\right)\\&&-&dyd^{2}\left(\nu d^{3}x\right)&+&dxd^{2}\left(\nu d^{3}y\right)=&\mathrm {A} dy-\mathrm {B} dx,\\&dz\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -&dx\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} +&dzd\left(\mu d^{2}x\right)&-&dxd\left(\mu d^{2}z\right)\\&&-&dzd^{2}\left(\nu d^{3}x\right)&+&dxd^{2}\left(\nu d^{3}z\right)=&\mathrm {A} dz-\mathrm {C} dx,\\&dz\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} -&dy\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} +&dzd\left(\mu d^{2}y\right)&-&dyd\left(\mu d^{2}z\right)\\&&-&dzd^{2}\left(\nu d^{3}y\right)&+&dyd^{2}\left(\nu d^{3}z\right)=&\mathrm {B} dz-\mathrm {C} dy,\\\end{alignedat}}$

lesquelles sont aussi intégrables, et dont les intégrales sont

${\begin{aligned}y&\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -x\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} -\int (\mathrm {X} y-\mathrm {Y} x)d\mathrm {m} \\&\ +\mu \left(dy\,d^{2}x-dx\,d^{2}y\right)-dy\,d(\nu d^{3}x)+dx\,d(\nu d^{3}y)\end{aligned}}$

$+\nu \left(d^{2}yd^{3}x-d^{2}xd^{3}y\right)=\mathrm {A} y-\mathrm {B} x+\mathrm {F} ,$

${\begin{aligned}z&\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -x\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} -\int (\mathrm {X} z-\mathrm {Z} x)d\mathrm {m} \\&\ +\mu \left(dz\,d^{2}x-dx\,d^{2}z\right)-dz\,d(\nu d^{3}x)+dx\,d(\nu d^{3}z)\end{aligned}}$

$+\nu \left(d^{2}zd^{3}x-d^{2}xd^{3}z\right)=\mathrm {A} z-\mathrm {C} x+\mathrm {G} ,$

${\begin{aligned}z&\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} -y\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} -\int (\mathrm {Y} z-\mathrm {Z} y)d\mathrm {m} \\&\ +\mu \left(dz\,d^{2}y-dy\,d^{2}z\right)-dz\,d(\nu d^{3}y)+dy\,d(\nu d^{3}z)\end{aligned}}$

$+\nu \left(d^{2}zd^{3}y-d^{2}yd^{3}z\right)=\mathrm {B} z-\mathrm {C} y+\mathrm {H} ,$

$\mathrm {F,\,G,\,H}$ étant de nouvelles constantes arbitraires.