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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et ainsi de suite. De sorte que les équations de condition pour l’inextensibilité et l’inflexibilité du fil seront $\delta \alpha =0,\,\delta \beta =0,\,\delta \gamma =0,\ldots ,$ c’est-à-dire, en différentiant et changeant $\delta d$ en $d\delta ,$

{\begin{alignedat}{4}&dx\,d\delta x&+&dy\,d\delta y&+&dz\,d\delta z&=&0,\\&d^{2}x\,d^{2}\delta x&+&d^{2}y\,d^{2}\delta y&+&d^{2}z\,d^{2}\delta z&=&0,\\&d^{3}x\,d^{3}\delta x&+&d^{3}y\,d^{3}\delta y&+&d^{3}z\,d^{3}\delta z&=&0,\\\end{alignedat}}

Il est clair qu’il suffit de trois de ces équations pour déterminer les trois variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z\,;$ d’où l’on peut d’abord conclure que, dès qu’on aura satisfait aux trois premières, toutes les autres, qu’on pourrait trouver à l’infini, auront lieu d’elles-mêmes : c’est aussi de quoi on peut se convaincre par le calcul même, comme on le verra plus bas (art. 60)^[1].

↑ Ces équations expriment que $\alpha ,\beta ,\gamma$ conservent la même valeur pendant le déplacement de la courbe. Cette condition équivaut aux trois équations suivantes :
${\begin{alignedat}{4}&\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}&+&\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}&+&\left({\frac {dz}{ds}}\right)^{2}&=&1,\\&\left({\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}\right)^{2}&=&\varphi (s),\\&\left({\frac {d^{3}x}{ds^{3}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{3}y}{ds^{3}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{3}z}{ds^{3}}}\right)^{2}&=&\psi (s).\end{alignedat}}$

La première est évidente ; la deuxième exprime que la courbure de la ligne considérée est une fonction déterminée de l’arc $s\,;$ la troisième, enfin, combinée avec les deux autres, exprime que la seconde courbure est une fonction déterminée de $s$ . En écrivant les équations de condition sous cette forme, qui ne diffère de celle de Lagrange que par les diviseurs $ds^{2},ds^{4},ds^{6},$ que nous avons introduits, les calculs resteraient absolument les mêmes ; seulement les multiplicateurs désignés plus loin par $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ seraient finis, tandis qu’il faut, dans la notation de Lagrange, leur supposer des valeurs infinies de différents ordres. Cette circonstance a été signalée comme un inconvénient de la méthode. En adoptant, en effet, la locution si souvent employée par Lagrange, les multiplicateurs $\lambda ,\mu ,\nu$ représenteraient les forces qui tendent à faire varier les fonctions $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ et il doit sembler extraordinaire que ces forces soient infinies et surtout qu’une transformation tout algébrique suffise pour leur faire prendre des valeurs finies ; mais on se rend compte de cette singularité en remarquant que les coefficients $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ ne sont nommés forces que par une locution figurée, familière à Lagrange. Nous avons averti plusieurs fois qu’il ne fallait pas prendre cette locution à la lettre. (Voir la Note relative à l’art. 9, sect. II.) (J. Bertrand.)

[1] Ces équations expriment que $\alpha ,\beta ,\gamma$ conservent la même valeur pendant le déplacement de la courbe. Cette condition équivaut aux trois équations suivantes :
${\begin{alignedat}{4}&\left({\frac {dx}{ds}}\right)^{2}&+&\left({\frac {dy}{ds}}\right)^{2}&+&\left({\frac {dz}{ds}}\right)^{2}&=&1,\\&\left({\frac {d^{2}x}{ds^{2}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{2}y}{ds^{2}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{2}z}{ds^{2}}}\right)^{2}&=&\varphi (s),\\&\left({\frac {d^{3}x}{ds^{3}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{3}y}{ds^{3}}}\right)^{2}&+&\left({\frac {d^{3}z}{ds^{3}}}\right)^{2}&=&\psi (s).\end{alignedat}}$

La première est évidente ; la deuxième exprime que la courbure de la ligne considérée est une fonction déterminée de l’arc $s\,;$ la troisième, enfin, combinée avec les deux autres, exprime que la seconde courbure est une fonction déterminée de $s$ . En écrivant les équations de condition sous cette forme, qui ne diffère de celle de Lagrange que par les diviseurs $ds^{2},ds^{4},ds^{6},$ que nous avons introduits, les calculs resteraient absolument les mêmes ; seulement les multiplicateurs désignés plus loin par $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ seraient finis, tandis qu’il faut, dans la notation de Lagrange, leur supposer des valeurs infinies de différents ordres. Cette circonstance a été signalée comme un inconvénient de la méthode. En adoptant, en effet, la locution si souvent employée par Lagrange, les multiplicateurs $\lambda ,\mu ,\nu$ représenteraient les forces qui tendent à faire varier les fonctions $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ et il doit sembler extraordinaire que ces forces soient infinies et surtout qu’une transformation tout algébrique suffise pour leur faire prendre des valeurs finies ; mais on se rend compte de cette singularité en remarquant que les coefficients $\lambda ,\,\mu ,\,\nu$ ne sont nommés forces que par une locution figurée, familière à Lagrange. Nous avons averti plusieurs fois qu’il ne fallait pas prendre cette locution à la lettre. (Voir la Note relative à l’art. 9, sect. II.) (J. Bertrand.)

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