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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

les coordonnées soient

$x,\quad y,\quad z,\quad x+dx,\quad y+dy,\quad z+dz,$

$x+2dx+d^{2}x,\quad y+2dy+d^{2}y,\quad z+2dz+d^{2}z,\quad \ldots ,$

il est clair que les carrés des distances entre le premier de ces points et les suivants seront exprimés par les quantités

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\quad (2dx+d^{2}x)^{2}+(2dy+d^{2}y)^{2}+(2dz+d^{2}z)^{2},$

$(3dx+3d^{2}x+d^{3}x)^{2}+(3dy+3d^{2}y+d^{3}y)^{2}+(3dz+3d^{2}z+d^{3}z)^{2},\quad \ldots .$

Supposons, pour abréger,

${\begin{alignedat}{4}&\ \ \ dx^{2}&+&\ \ \ dy^{2}&+&\ \ \ dz^{2}&=&\alpha ,\\&\left(d^{2}x\right)^{2}&+&\left(d^{2}y\right)^{2}&+&\left(d^{2}z\right)^{2}&=&\beta ,\\&\left(d^{3}x\right)^{2}&+&\left(d^{3}y\right)^{2}&+&\left(d^{3}z\right)^{2}&=&\gamma ,\\\end{alignedat}}$

;

les quantités précédentes, étant développées, deviendront

${\begin{aligned}&\ \ \alpha ,\\&4\alpha +2d\alpha +\beta ,\\&9\alpha +9d\alpha +9\beta +3\left(d^{2}\alpha -2\beta \right)+3d\beta +\gamma ,\\\end{aligned}}$

 

Il faudra donc que les variations de ces quantités soient nulles dans toute l’étendue de la courbe, ce qui donnera ces équations indéfinies

${\begin{aligned}&\ \ \delta \alpha =0,\\&4\delta \alpha +2\delta d\alpha +\delta \beta =0,\\&9\delta \alpha +9\delta d\alpha +9\delta \beta +3\delta d^{2}\alpha +3\delta d\beta +\delta \gamma =0,\\\end{aligned}}$

 

mais $\delta \alpha$ étant égal à $0,$ on a aussi

$d\delta \alpha =\delta d\alpha =0\,;\quad {\text{donc}}\quad \delta \beta =0\,;$

de là on aura, de plus,

$d^{2}\delta \alpha =\delta d^{2}\alpha =0,\quad d\delta \beta =\delta d\beta =0\,;\quad {\text{donc}}\quad \delta \gamma =0\,;$