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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

que l’on ait, dans le cas dont il s’agit,

$\mathrm {A} =0,\qquad \mathrm {B} =0,\qquad \mathrm {C} =0,$

et

_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} =0,\quad$_S$\mathrm {Y} d\mathrm {m} =0,\quad$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} =0.$

Ensuite il faudra que l’on ait aussi

$\mathrm {I} ''d^{2}x''=0,\quad \mathrm {I} ''d^{2}y''=0,\quad \mathrm {I} ''d^{2}z''=0$

et

$\mathrm {I} 'd^{2}x'=0,\quad \mathrm {I} 'd^{2}y'=0,\quad \mathrm {I} 'd^{2}z'=0,$

pour faire disparaître les termes affectés de $d\delta x'',\,d\delta y'',\ldots \,;$ et il est clair que les secondes équations intégrales du même article donneront

$\mathrm {F} =0,\qquad \mathrm {G} =0,\qquad \mathrm {H} =0$

et

_S$\left(dy\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -dx\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)=0,\quad$_S$\left(dz\int \mathrm {X} d\mathrm {m} -dx\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)=0,\quad$

_S$\left(dz\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} -dy\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)=0.$

2^o Si la première extrémité du fil est fixe, alors

$\delta x'=0,\qquad \delta y'=0,\qquad \delta z'=0\,;$

par conséquent, $\mathrm {A,\,B,\,C}$ ne seront pas nuls ; mais la condition que les coefficients de $\delta x'',\,\delta y'',\,\delta z''$ soient nuls donnera

$\mathrm {A} =-$_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} ,\qquad \mathrm {B} =-$_S$\mathrm {Y} d\mathrm {m} ,\qquad \mathrm {C} =-$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} \,;$

et, si la position de la tangente à cette extrémité était donnée aussi, on aurait, de plus,

$d\delta x'=0,\qquad d\delta y'=0,\qquad d\delta z'=0\,;$

par conséquent, $\mathrm {F,G,H}$ ne seraient pas nuls, mais la nullité des coefficients de $d\delta x'',\,d\delta y'',\,d\delta z''$ donnerait

$\mathrm {F} =$_S$\left[\left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dx-\left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dy\right]$

$\mathrm {G} =$_S$\left[\left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dx-\left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dz\right]$

$\mathrm {H} =$_S$\left[\left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dy\ -\left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dz\right].$