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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

tions intégrales de l’article 48 donnent, en mettant pour $\mathrm {I}$ sa valeur ${\frac {\mathrm {K} }{ds^{3}}},$

${\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {dxd^{2}y-dyd^{2}x}{ds^{3}}}=&\mathrm {F+A} y-\mathrm {B} x,\\\mathrm {K} {\frac {dxd^{2}z-dzd^{2}x}{ds^{3}}}=&\mathrm {G+A} z-\mathrm {C} x,\\\mathrm {K} {\frac {dyd^{2}z-dzd^{2}y}{ds^{3}}}=&\mathrm {H+B} z-\mathrm {C} y\,;\end{aligned}}$

mais l’intégration ultérieure de celles-ci est peut-être impossible en général^[1].

Lorsque la courbure de la lame est toute dans un même plan, en prenant pour ce plan celui des $x$ et $y$ et faisant $dy=ds\sin \varphi ,\,dx=ds\cos \varphi ,$ la première équation, qui est alors la seule nécessaire, devient

${\frac {d\varphi }{ds}}=\mathrm {F+A} \int \sin \varphi ds-\mathrm {B} \int \cos \varphi ds,$

laquelle, étant différentiée, donne

${\frac {d^{2}\varphi }{ds^{2}}}=\mathrm {A\sin \varphi -B\cos \varphi } \,;$

multipliant par $d\varphi$ et intégrant derechef,

${\frac {1}{2}}{\frac {d\varphi ^{2}}{ds^{2}}}=\mathrm {A\cos \varphi +B\sin \varphi +D} ,$

d’où l’on tire

$ds={\frac {d\varphi }{\mathrm {\sqrt {2D+2A\cos \varphi +2B\sin \varphi }} }}$

et de là

$dx={\frac {\cos \varphi d\varphi }{\mathrm {\sqrt {2D+2A\cos \varphi +2B\sin \varphi }} }}\,;$

1. Cette intégration a été effectuée par Binet, qui a même considéré les équations plus générales auxquelles on est conduit en rétablissant dans la somme des moments des forces d’élasticité le terme proportionnel à la variation de l’angle de deux plans osculateurs consécutifs. (Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 1844, I^er semestre, p. 1115.) (J. Bertrand.)