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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

Ainsi les trois premières équations (art. 48) seront

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} d\mathrm {m} &-&d{\frac {\lambda dx}{ds}}&+&\mathrm {K} {\frac {d^{4}x}{ds^{3}}}=0,\\&\mathrm {Y} d\mathrm {m} &-&d{\frac {\lambda dy}{ds}}&+&\mathrm {K} {\frac {d^{4}y}{ds^{3}}}=0,\\&\mathrm {Z} d\mathrm {m} &-&d{\frac {\lambda dz}{ds}}&+&\mathrm {K} {\frac {d^{4}z}{ds^{3}}}=0.\end{alignedat}}$

Si l’on ajoute ensemble ces trois équations, après avoir multiplié la première par ${\frac {dx}{ds}},$ la deuxième par ${\frac {dy}{ds}}$ et la troisième par ${\frac {dz}{ds}},$ on aura, à cause de

${\frac {dx}{ds}}d{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dy}{ds}}d{\frac {dy}{ds}}+{\frac {dz}{ds}}d{\frac {dz}{ds}}={\frac {1}{2}}d\left({\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{ds^{2}}}\right)=0,$

l’équation

$(\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz){\frac {d\mathrm {m} }{ds}}+\mathrm {K} {\frac {dxd^{4}x+dyd^{4}y+dzd^{4}z}{ds^{4}}}=d\lambda .$

Soit $\Gamma$ l’épaisseur du fil ; on aura $d\mathrm {m} =\Gamma ds.$ L’équation précédente étant intégrée, en supposant $ds$ constant, donnera

${\begin{aligned}\lambda =&\int \Gamma (\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz)\\&+\mathrm {K} \left[{\frac {dxd^{3}x+dyd^{3}y+dzd^{3}z}{ds^{4}}}-{\frac {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}}{2ds^{4}}}\right].\end{aligned}}$

Cette valeur de $\lambda$ exprime la tension de la lame élastique, c’est-à-dire la résistance avec laquelle elle s’oppose à la force qui tend à l’allonger, comme dans l’article 31.

50. Le cas le plus simple et le plus ordinaire est celui dans lequel les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ qu’on suppose agir sur tous les points de la lame élastique sont nulles, et où la courbure de la lame vient uniquement des forces appliquées à ses deux extrémités. Dans ce cas, les équa-