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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

Or nous avons supposé plus haut (art. 47)

$\mathrm {I} ={\frac {\mathrm {E} }{ds{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}}}}\,;$

le carré du dénominateur de cette quantité est

${\begin{aligned}ds^{2}&\left[\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}\right]-ds^{2}\left(d^{2}s\right)^{2}\\&=\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\left[\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}\right]-\left(dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z\right)^{2}\\&=\left(dxd^{2}y-dyd^{2}x\right)^{2}+\left(dxd^{2}z-dzd^{2}x\right)^{2}+\left(dyd^{2}z-dzd^{2}y\right)^{2}.\end{aligned}}$

Donc, si l’on ajoute ensemble les carrés des trois équations précédentes, on aura celle-ci, sans différentielles,

${\begin{aligned}\mathrm {E} ^{2}=&+\left[\mathrm {F} +\int \left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dy-\int \left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dx\right]^{2}\\&+\left[\mathrm {G} +\int \left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dz-\int \left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dx\right]^{2}\\&+\left[\mathrm {H} +\int \left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dz-\int \left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dy\right]^{2}\,;\end{aligned}}$

et si l’on divise ensemble deux des mêmes équations, on aura celle-ci, où l’élasticité n’entre pas,

${\frac {dxd^{2}z-dzd^{2}x}{dxd^{2}y-dyd^{2}x}}={\frac {\mathrm {G} +\int \left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dz-\int \left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dx}{\mathrm {F} +\int \left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dy-\int \left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dx}}.$

Ces deux équations sont ce qu’il y a de plus simple pour déterminer la courbe élastique, en ayant égard à la double courbure.

49. On suppose communément que la force élastique qui s’oppose à l’inflexion est en raison inverse du rayon osculateur. Ainsi, en nommant $\rho$ ce rayon, on aura $\mathrm {E} ={\frac {\mathrm {K} }{\rho }},$ $\mathrm {K}$ étant un coefficient constant.

Mais on sait que $\rho ={\frac {ds}{e}}\,;$ donc $\mathrm {E} ={\frac {\mathrm {K} e}{ds}}\,:$ ainsi la quantité $\mathrm {I} ,$ que nous avons supposée égale à ${\frac {\mathrm {E} }{eds^{2}}}$ (art. 47), deviendra ${\frac {\mathrm {K} }{ds^{3}}}$ et, par conséquent, constante, en supposant, ce qui est permis, $ds$ constante.