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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

mier membre de l’équation générale de l’équilibre de l’article 29, et l’on aura l’équation de l’équilibre d’un fil inextensible et élastique.

48. Égalant d’abord à zéro les coefficients des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ qui se trouvent sous le signe _S, on aura ces trois équations indéfinies

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dx}{ds}}&+&d^{2}\left(\mathrm {I} d^{2}x\right)&=&0,\\&\mathrm {Y} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dy}{ds}}&+&d^{2}\left(\mathrm {I} d^{2}y\right)&=&0,\\&\mathrm {Z} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dz}{ds}}&+&d^{2}\left(\mathrm {I} d^{2}z\right)&=&0\,;\end{alignedat}}$

d’où il faudra éliminer l’indéterminée $\lambda ,$ ce qui les réduira à deux, qui suffiront pour déterminer la courbe du fil.

Une première intégration donne

${\begin{alignedat}{4}&\lambda d{\frac {dx}{ds}}&-&d\left(\mathrm {I} d^{2}x\right)&=&\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} ,\\&\lambda d{\frac {dy}{ds}}&-&d\left(\mathrm {I} d^{2}y\right)&=&\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} ,\\&\lambda d{\frac {dz}{ds}}&-&d\left(\mathrm {I} d^{2}z\right)&=&\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} ,\end{alignedat}}$

$\mathrm {A,B,C}$ étant des constantes arbitraires, et l’élimination de $\lambda$ donnera

${\begin{alignedat}{4}&dxd\left(\mathrm {I} d^{2}y\right)&-&dyd\left(\mathrm {I} d^{2}x\right)&=&\left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dy&-&\left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dx,\\&dxd\left(\mathrm {I} d^{2}z\right)&-&dzd\left(\mathrm {I} d^{2}x\right)&=&\left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dz&-&\left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dx,\\&dyd\left(\mathrm {I} d^{2}z\right)&-&dzd\left(\mathrm {I} d^{2}y\right)&=&\left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dz&-&\left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dy,\end{alignedat}}$

dont la dernière est déjà contenue dans les deux autres.

Ces équations sont de nouveau intégrables, et l’on aura

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {I} \left(dxd^{2}y-dyd^{2}x\right)&=&\mathrm {F} +\int \left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dy&-&\int \left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dx,\\&\mathrm {I} \left(dxd^{2}z-dzd^{2}x\right)&=&\mathrm {G} +\int \left(\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} \right)dz&-&\int \left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dx,\\&\mathrm {I} \left(dyd^{2}z-dzd^{2}y\right)&=&\mathrm {H} +\int \left(\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} \right)dz&-&\int \left(\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} \right)dy,\end{alignedat}}$

$\mathrm {F,\,G,\,H}$ étant de nouvelles constantes.