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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

petit du premier ordre ; de sorte qu’on aura

$e={\frac {\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}}{ds}}\,;$

c’est l’expression de l’angle de contingence dans une courbe quelconque à double courbure, et qui revient à celle de l’article 41.

47. On différentiera maintenant suivant $\delta ,$ pour avoir la valeur de $\delta e,$ et comme, par la condition de l’inextensibilité du fil, on a déjà $\delta ds=0$ (art. 29) et, par conséquent aussi, $d\,\delta ds=\delta d^{2}s=0,$ on pourra traiter, dans la différentiation dont il s’agit, $ds$ et $d^{2}s$ comme constantes ; ainsi l’on aura

$\delta e={\frac {d^{2}x\delta d^{2}x+d^{2}y\delta d^{2}y+d^{2}z\delta d^{2}z}{ds{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}}}}.$

Substituant dans _S$\mathrm {E} \delta e$ et faisant, pour abréger,

$\mathrm {I} ={\frac {\mathrm {E} }{ds{\sqrt {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}}}},$

on aura

_S$\mathrm {E} de=$_S$\mathrm {I} d^{2}x\delta d^{2}x+$_S$\mathrm {I} d^{2}y\delta d^{2}y+$_S$\mathrm {I} d^{2}z\delta d^{2}z.$

Ces expressions étant traitées suivant les règles données dans l’article 15 de la Section IV, en y changeant d’abord $\delta d$ en $d\delta$ et intégrant ensuite par parties pour faire disparaître le $d$ avant $\delta ,$ on aura les transformées suivantes :

_S$\mathrm {I} d^{2}x\delta d^{2}x=+\mathrm {I} ''d^{2}x''d\delta x''-d\left(\mathrm {I} ''d^{2}x''\right)\delta x''$

$-\mathrm {I} '\ d^{2}x'\ d\delta x'\,+d\left(\mathrm {I} '\ d^{2}x'\ \right)\delta x'\ +$_S $d^{2}\left(\mathrm {I} d^{2}x\right)\delta x,$

_S$\mathrm {I} d^{2}y\delta d^{2}y=+\mathrm {I} ''\ d^{2}y''d\delta y''\,-d\left(\mathrm {I} ''d^{2}y''\right)\delta y''$

$-\mathrm {I} '\ d^{2}y'\,\ d\delta y'\ +d\left(\mathrm {I} '\ d^{2}y'\ \right)\delta y'\ +$_S $d^{2}\left(\mathrm {I} d^{2}y\right)\delta y,$

_S$\mathrm {I} d^{2}z\delta d^{2}z=+\mathrm {I} ''\ d^{2}z''\ d\delta z''\,-d\left(\mathrm {I} ''d^{2}z''\right)\delta z''$

$-\mathrm {I} '\ d^{2}z'\ \ d\delta z'\ +d\left(\mathrm {I} '\,\ d^{2}z'\ \right)\delta z'\ +$_S $d^{2}\left(\mathrm {I} d^{2}z\right)\delta z.$

On ajoutera donc ces différents termes à ceux qui forment le pre-