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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

convenable ; pour cela, il faut commencer par chercher la valeur de $e\,;$ or nous avons trouvé plus haut (art. 26)

$-\cos e={\frac {f^{2}+g^{2}-h^{2}}{2fg}},$

d’où l’on tire

$\sin ^{2}e={\frac {4f^{2}g^{2}-\left(f^{2}+g^{2}-h^{2}\right)^{2}}{4f^{2}g^{2}}}.$

Pour appliquer cette formule au cas présent, il suffit de remarquer que les coordonnées $x',\,y',\,z',$ $x'',\,y'',\,z'',$ $x''',\,y''',\,z''',$ par lesquelles nous avons exprimé les quantités $f,\,g,\,h$ (art. 12 et 20), deviennent ici $x,\,y,\,z\,;$ $x+dx,$ $y+dy,\,z+dz\,;$ $x+2dx+d^{2}x,\,y+2dy+d^{2}y,$ $z+2dz+d^{2}z\,;$ en sorte qu’on aura

${\begin{aligned}f^{2}=&dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=s^{2},\\g^{2}=&(dx+d^{2}x)^{2}+(dy+d^{2}y)^{2}+(dz+d^{2}z)^{2}\\=&dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+2\left(dxd^{2}x+dyd^{2}y+dzd^{2}z\right)+\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}\\=&ds^{2}+2dsd^{2}s+\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2},\\h^{2}=&\left(2dx+d^{2}x\right)^{2}+\left(2dy+d^{2}y\right)^{2}+\left(2dz+d^{2}z\right)^{2}\\=&4ds^{2}+4dsd^{2}s+\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}\,;\end{aligned}}$

donc

$f^{2}+g^{2}-h^{2}=-2ds^{2}s-2dsd^{2}s$

et

${\begin{aligned}4&f^{2}g^{2}-\left(f^{2}+g^{2}-h^{2}\right)^{2}\\&=4ds^{4}+8ds^{3}d^{2}s+4ds^{2}\left[+\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}\right]-4\left(ds^{2}+dsd^{2}s\right)^{2}\\&=4ds^{2}\left[\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}\right].\end{aligned}}$

Donc enfin on aura, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre,

$\sin ^{2}e={\frac {\left(d^{2}x\right)^{2}+\left(d^{2}y\right)^{2}+\left(d^{2}z\right)^{2}-\left(d^{2}s\right)^{2}}{ds^{2}}}.$

Comme cette valeur de $\sin ^{2}e$ est infiniment petite du deuxième ordre, il s’ensuit que $\sin e,$ et par conséquent aussi l’angle $e,$ sera infiniment