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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

$a$ étant une constante, et l’équation de la surface serait

{\frac {\partial \Pi }{\partial z}}-{\frac {\partial (\Pi +a){\cfrac {\partial z}{\partial x}}}{\partial x}}-{\frac {\partial (\Pi +a){\cfrac {\partial z}{\partial y}}}{\partial y}}=0.

En supposant qu’il n’y ait d’autres forces que la gravité $g$ qui agisse suivant l’ordonnée $z$ pour l’augmenter, on aura $\Pi =-gz\,;$ par conséquent, en négligeant toujours les secondes dimensions de $z,$

a\left({\frac {\partial ^{2}z}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}z}{\partial y^{2}}}\right)=-g,

équation intégrable en général, mais avec des fonctions imaginaires qui rendent cette solution peu susceptible d’application.

§ III. — De l’équilibre d’un fil ou lame élastique.

46. Reprenons le cas d’un fil inextensible ; mais, au lieu de le supposer en même temps parfaitement flexible, comme on l’a fait jusqu’ici, supposons-le élastique, en sorte qu’il y ait dans chaque point une force, que j’appellerai $\mathrm {E} ,$ qui s’oppose à l’inflexion du fil et qui tende, par conséquent, à diminuer l’angle de contingence^[1]. Nommant cet angle $e,$ on aura, comme dans l’article 26 (en changeant seulement $d$ en $\delta$ ) $\mathrm {E} \delta e$ pour le moment de chaque force $\mathrm {E} \,;$ donc _S $\mathrm {E} \delta e$ sera la somme des moments de toutes les forces d’élasticité qui agissent dans toute la longueur du fil, laquelle devra donc être ajoutée au premier membre de l’équation générale de l’équilibre dans le cas d’un fil inextensible et parfaitement flexible (art. 29).

Toute la difficulté consiste à ramener l’intégrale _S $\mathrm {E} \delta e$ à la forme

↑ L’expression adoptée par Lagrange pour l’évaluation de la somme des moments des forces d’élasticité n’est pas admissible pour les courbes à double courbure. Binet en a fait la remarque dans le tome X du Journal de l’École Polytechnique. Voir aussi un Mémoire de Poisson qui fait partie du tome III de la Correspondance sur l’École Polytechnique. Ces géomètres remarquent avec raison qu’il doit entrer, dans l’expression de la somme des moments, un terme proportionnel à la variation de l’angle de deux plans osculateurs consécutifs. (Voir une Note à la fin du Volume.) (J. Bertrand.)

[1] L’expression adoptée par Lagrange pour l’évaluation de la somme des moments des forces d’élasticité n’est pas admissible pour les courbes à double courbure. Binet en a fait la remarque dans le tome X du Journal de l’École Polytechnique. Voir aussi un Mémoire de Poisson qui fait partie du tome III de la Correspondance sur l’École Polytechnique. Ces géomètres remarquent avec raison qu’il doit entrer, dans l’expression de la somme des moments, un terme proportionnel à la variation de l’angle de deux plans osculateurs consécutifs. (Voir une Note à la fin du Volume.) (J. Bertrand.)

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