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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

mières équations la valeur de $\mathrm {V}$ tirée de la dernière ; elles deviendront

${\begin{aligned}\mathrm {U} \left(\mathrm {X+Z} {\frac {\partial z}{\partial x}}\right)&+\mathrm {F} {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {UF} }{\partial x}}=0,\\\mathrm {U} \left(\mathrm {X+Z} {\frac {\partial z}{\partial y}}\right)&+\mathrm {F} {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {UF} }{\partial y}}=0.\end{aligned}}$

Soit, comme dans l’article 28,

$\mathrm {X} dx+\mathrm {Y} dy+\mathrm {Z} dz=d\Pi \,;$

on aura, puisque $z$ est censée fonction de $x,y,$

${\frac {\partial \Pi }{\partial x}}=\mathrm {X+Z} {\frac {\partial z}{\partial x}},\quad {\frac {\partial \Pi }{\partial y}}=\mathrm {Y+Z} {\frac {\partial z}{\partial y}},$

et les deux équations deviendront, en divisant par $\mathrm {U} ,$

${\frac {\partial \Pi }{\partial x}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial x}},\quad {\frac {\partial \Pi }{\partial y}}={\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial y}},$

lesquelles donnent simplement celle-ci

$d\Pi =d\mathrm {F} ,$

d’où

$\mathrm {F} =\Pi +a,$

résultat conforme à celui de l’article 36 de la Section IV. Ensuite la troisième équation donnera, en regardant $\Pi$ comme fonction de $x,\,y,\,z,$

$\mathrm {U} {\frac {\partial \Pi }{\partial z}}-{\frac {\partial {\cfrac {\mathrm {F} z'}{\mathrm {U} }}}{\partial x}}-{\frac {\partial {\cfrac {\mathrm {F} z_{_{'}}}{\mathrm {U} }}}{\partial y}}=0\,;$

ce sera l’équation de la surface.

Si la surface différait très peu d’un plan, en sorte quel l’ordonnée $z$ fût très petite, alors, en négligeant les quantités très petites du second ordre, on aurait

$\mathrm {U} =1\,;$

or

$\mathrm {F} =\Pi +a,$