Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/178

Cette page a été validée par deux contributeurs.

160

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

équations^[1]

{\begin{aligned}\mathrm {XU} &+\mathrm {F} {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {UF} }{\partial x}}+\mathrm {V} z'=0,\\\mathrm {YU} &+\mathrm {F} {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {UF} }{\partial y}}+\mathrm {V} z_{_{'}}=0,\\\mathrm {ZU} &-\mathrm {V} =0.\end{aligned}}

Les deux premières donneront la valeur de la force $\mathrm {F}$ qu’il faudra substituer dans l’expression de $\mathrm {V}$ de la troisième, de sorte qu’on n’aura, en dernière analyse, qu’une seule équation à différences partielles pour déterminer la surface d’équilibre.

En effet, quoique la force $\mathrm {F}$ doive être supposée une fonction connue de l’élément $d\mathrm {m}$ de la surface dans son état de contraction ou d’extension, elle n’en demeure pas moins indéterminée, parce que la grandeur absolue des éléments de la surface ne peut entrer dans le calcul ; de sorte que la valeur de $\mathrm {F}$ ne peut être déterminée que par les conditions mêmes de l’équilibre : c’est ici un cas semblable à celui de l’article 43.

45. Pour éliminer la quantité $\mathrm {F} ,$ on substituera dans les deux pre-

↑ Il importe de remarquer ici que les conclusions de Lagrange ne subsisteraientplus si l’on supposait $\delta x$ fonction de la seule variable $x$ et $\delta y$ fonction de la seule variable $y,$ comme on serait tenté de le faire en se rappelant les hypothèses dans lesquelles ont été établies (sect. IV, art. 33, 34) les formules que Lagrange applique ici. En effet, pour qu’une intégrale

_SS $(\mathrm {A} \delta x+\mathrm {B} \delta y+\mathrm {C} \delta z)dxdy$

soit nulle dans ces hypothèses, il n’est plus nécessaire que l’on ait en chaque point

$\mathrm {A=B=C} =0\,;$

mais il suffit que l’on ait

_S $\mathrm {A} dy=0$

pour toutes les valeurs de $x,$

_S $\mathrm {B} dx=0$

pour toutes les valeurs de $y$ et

$\mathrm {C} =0$

pour toutes les valeurs de $x$ et de $y.$ Rapprocher cette remarque de la Note relative à l’article 32 de la Section IV. (G. D.)

[1] Il importe de remarquer ici que les conclusions de Lagrange ne subsisteraientplus si l’on supposait $\delta x$ fonction de la seule variable $x$ et $\delta y$ fonction de la seule variable $y,$ comme on serait tenté de le faire en se rappelant les hypothèses dans lesquelles ont été établies (sect. IV, art. 33, 34) les formules que Lagrange applique ici. En effet, pour qu’une intégrale

_SS $(\mathrm {A} \delta x+\mathrm {B} \delta y+\mathrm {C} \delta z)dxdy$

soit nulle dans ces hypothèses, il n’est plus nécessaire que l’on ait en chaque point

$\mathrm {A=B=C} =0\,;$

mais il suffit que l’on ait

_S $\mathrm {A} dy=0$

pour toutes les valeurs de $x,$

_S $\mathrm {B} dx=0$

pour toutes les valeurs de $y$ et

$\mathrm {C} =0$

pour toutes les valeurs de $x$ et de $y.$ Rapprocher cette remarque de la Note relative à l’article 32 de la Section IV. (G. D.)

[1]