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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

où $d\mathrm {m}$ est l’élément de la surface, donnera la somme des moments de toutes les forces, laquelle doit être nulle dans l’équilibre.

En faisant, comme dans l’article 31 de la Section IV,

${\frac {\partial z}{\partial x}}=z',\qquad {\frac {\partial z}{\partial y}}=z_{_{'}},\qquad {\text{et}}\qquad {\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}=\mathrm {U} ,$

on aura

$d\mathrm {m} =\mathrm {U} dxdy\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z'}}={\frac {z'}{\mathrm {U} }},\qquad {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial z_{_{'}}}}={\frac {z_{_{'}}}{\mathrm {U} }}\,;$

donc (sect. IV, art. 33 et 34)

${\begin{aligned}&\delta \mathrm {U} ={\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}\delta y+{\frac {1}{\mathrm {U} }}\left(z'{\frac {\partial \delta u}{\partial x}}+z_{_{'}}{\frac {\partial \delta u}{\partial y}}\right),\\&\delta (\mathrm {U} dxdy)=\left[\delta \mathrm {U} +\mathrm {U} \left({\frac {\partial \delta x}{\partial x}}+{\frac {\partial \delta y}{\partial y}}\right)\right]dxdy.\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs dans l’intégrale double _SS$\mathrm {F} \delta (\mathrm {U} dxdy)$ et faisant disparaître par des intégrations par parties les différences partielles des variations marquées par $\delta ,$ on aura

_S$\left(\mathrm {U} \delta y+{\frac {z_{_{'}}}{\mathrm {U} }}\delta u\right)\mathrm {F} dx+$_S$\left(\mathrm {U} \delta x+{\frac {z'}{\mathrm {U} }}\delta u\right)\mathrm {F} dy$

$+$_SS$\left[\left(\mathrm {F} {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial x}}-{\frac {\partial \mathrm {FU} }{\partial x}}\right)\delta x+\left(\mathrm {F} {\frac {\partial \mathrm {U} }{\partial y}}-{\frac {\partial \mathrm {FU} }{\partial y}}\right)\delta y-\mathrm {V} \delta u\right]dxdy,$

où

$\mathrm {V} ={\frac {\partial {\cfrac {\mathrm {F} z'}{\mathrm {U} }}}{\partial x}}+{\frac {\partial {\cfrac {\mathrm {F} z_{_{'}}}{\mathrm {U} }}}{\partial y}}\qquad {\text{et}}\qquad \delta u=\delta z-z'\delta x-z_{_{'}}\delta y$ (art. cités).

Les intégrales simples relatives à $x$ et à $y$ se rapportent aux limites et disparaissent d’elles-mêmes, dans le cas où l’on suppose que les bords de la surface sont fixes, parce qu’alors les variations $\delta x,\delta y,\delta z$ sont nulles dans tous les points du contour de la surface.

Les termes sous le double signe _SS étant ajoutés à ceux de l’intégrale double _SS$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)\mathrm {U} dxdy,$ on égalera séparément à zéro les coefficients des variations $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ et l’on aura les trois