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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

que les équations nécessaires pour déterminer la courbe du fil et la résistance de chacun de ses éléments.

Puisque la quantité $\lambda$ de la solution de l’article 30 répond exactement à la quantité $\mathrm {F}$ qui exprime la force réelle avec laquelle chaque élément du fil est tendu par l’action des forces extérieures, il s’ensuit qu’on peut aussi regarder cette quantité $\lambda$ comme représentant la tension du fil inextensible. C’est ce que nous avons déjà trouvé a priori dans l’article 31.

44. Appliquons les mêmes principes à la détermination de l’équilibre d’une surface dont tous les éléments $d\mathrm {m}$ soient extensibles et contractibles. L’élément d’une surface dont les coordonnées sont $x,y,z,$ et où l’on regarde $z$ comme fonction de $x,y,$ est exprimé par la formule

{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy.

Ainsi, en appelant $\mathrm {F}$ ^[1] la force d’élasticité avec laquelle cet élément tend à se contracter, la somme des moments de toutes ces forces sera exprimée par l’intégrale double

_SS

\mathrm {F} \delta \left[{\sqrt {1+\left({\frac {\partial z}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial z}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy\right],

qui, étant ajoutée à l’intégrale double

_SS

(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)d\mathrm {m} ,

↑ Cette manière d’évaluer l’ensemble des forces que développe l’élasticité sur un point n’est pas suffisammentjustifiée. Il est vrai qu’ici, comme dans plusieurs passages précédents, Lagrange détourne le mot force de sa signification habituelle ; mais il n’est nullement évident que la somme des moments des forces qui agissent sur un élément soit proportionnelle à la contraction de l’élément. Nous pouvons même ajouter que cela n’est pas exact. Poisson en a fait la remarque dans les Mémoires de l’Institut pour l’année 1812 ; du reste, la solution qu’il donne manque elle-même de généralité elle suppose les tensions d’un élément rectangulaire perpendiculaires aux côtés de cet élément, ce qui n’a pas lieu en général. (J. Bertrand.)

[1] Cette manière d’évaluer l’ensemble des forces que développe l’élasticité sur un point n’est pas suffisammentjustifiée. Il est vrai qu’ici, comme dans plusieurs passages précédents, Lagrange détourne le mot force de sa signification habituelle ; mais il n’est nullement évident que la somme des moments des forces qui agissent sur un élément soit proportionnelle à la contraction de l’élément. Nous pouvons même ajouter que cela n’est pas exact. Poisson en a fait la remarque dans les Mémoires de l’Institut pour l’année 1812 ; du reste, la solution qu’il donne manque elle-même de généralité elle suppose les tensions d’un élément rectangulaire perpendiculaires aux côtés de cet élément, ce qui n’a pas lieu en général. (J. Bertrand.)

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