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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

et sur laquelle on opérerait, dans les différents cas, comme on vient de le voir dans les articles précédents.

38. Supposons maintenant que le fil, animé dans tous ses points par les mêmes forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ et tiré de plus, dans ses deux extrémités, par les forces $\mathrm {X',\,Y',\,Z'} ,$ $\mathrm {X'',\,Y'',\,Z''} ,$ doive être couché sur une surface courbe donnée, dont l’équation soit

dz=pdx+qdy,

et que l’on demande la figure et la position de ce fil sur la même surface pour qu’il soit en équilibre.

Ce problème, qui serait peut-être difficile^[1] à traiter par les principes ordinaires de la Mécanique, se résout très facilement par notre méthode et par nos formules ; en effet, par l’équation de la surface donnée, on a, en changeant $d$ en $\delta ,$

\delta z=p\delta x+q\delta y\,;

ainsi il n’y aura qu’à substituer cette valeur de $\delta z$ dans les termes sous le signe de l’équation générale de l’équilibre du fil (art. 29), et ensuite égaler séparément à zéro les quantités affectées de $\delta x$ et de $\delta y.$ On aura par ce moyen ces deux équations indéfinies

{\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} d\mathrm {m} &-&d{\frac {\lambda dx}{ds}}&+&p\left(\mathrm {Z} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dz}{ds}}\right)&=&0,\\&\mathrm {Y} d\mathrm {m} &-&d{\frac {\lambda dy}{ds}}&+&q\left(\mathrm {Z} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dz}{ds}}\right)&=&0,\end{alignedat}}

lesquelles serviront à déterminer la courbe du fil, étant combinées avec l’équation $dz=pdx+qdy$ de la surface et étant débarrassées, par l’élimination, de l’indéterminée $\lambda .$

↑ On ne comprend pas comment Lagrange a pu considérer ce problème comme difücile à traiter directement. Les équations auxquelles il parvient expriment simplement que les deux tensions aux extrémités d’un élément, étant combinées avec les forces qui sollicitent cet élément, donnent une résultante normale à la surface. Cette condition est évidente a priori. (J. Bertrand.)

[1] On ne comprend pas comment Lagrange a pu considérer ce problème comme difücile à traiter directement. Les équations auxquelles il parvient expriment simplement que les deux tensions aux extrémités d’un élément, étant combinées avec les forces qui sollicitent cet élément, donnent une résultante normale à la surface. Cette condition est évidente a priori. (J. Bertrand.)

[1]