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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

autant d’équations particulières déterminées, qui seront

${\begin{alignedat}{4}&\alpha (a-x'\ )&-&\gamma (x''-x'\ )&-&\lambda '{\frac {dx'}{ds'}}&=&0,\\&\alpha (b-y'\ )&-&\gamma (y''-y'\ )&-&\lambda '{\frac {dy'}{ds'}}&=&0,\\&\alpha (c-z'\ )&-&\gamma (z''-z'\ )&-&\lambda '{\frac {dz'}{ds'}}&=&0,\\&\beta (a-x'')&+&\gamma (x''-x')&+&\lambda ''{\frac {dx''}{ds''}}&=&0,\\&\beta (b-y'')&+&\gamma (y''-y')&+&\lambda ''{\frac {dy''}{ds''}}&=&0,\\&\beta (c-z'')&+&\gamma (z''-z')&+&\lambda ''{\frac {dz''}{ds''}}&=&0,\end{alignedat}}$

et qui, par l’élimination de $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,$ se réduiront à trois.

Ces trois équations, étant ensuite combinées avec les trois équations de condition ci-dessus, serviront à déterminer la position des deux extrémités du fil.

On voit par là comment il faudra s’y prendre dans d’autres cas semblables.

37. Enfin, si, outre les forces qui animent chaque point du fil, il y en avait de particulières appliquées aux deux extrémités du fil, et représentées par $\mathrm {X',\,Y',\,Z'}$ pour le premier bout du fil, et par $\mathrm {X'',\,Y'',\,Z''}$ pour le dernier bout, ces forces donneraient les moments

$\mathrm {X} '\delta x'+\mathrm {Y} '\delta y'+\mathrm {Z} '\delta z'+\mathrm {X} ''\delta x''+\mathrm {Y} ''\delta y''+\mathrm {Z} ''\delta z'',$

et il faudrait ajouter encore cette quantité au premier membrue de l’équation générale de l’équilibre, c’est-à-dire à la partie qui est hors du signe, laquelle deviendrait alors

${\begin{alignedat}{3}&\left(\mathrm {X} ''+\lambda ''{\frac {dx''}{ds''}}\right)\delta x''&+&\left(\mathrm {Y} ''+\lambda ''{\frac {dy''}{ds''}}\right)\delta y''&+&\left(\mathrm {Z} ''+\lambda ''{\frac {dz''}{ds''}}\right)\delta z''\\+&\left(\mathrm {X} '\ -\lambda '{\frac {dx'}{ds'}}\ \right)\delta x'&+&\left(\mathrm {Y} '\ -\lambda '{\frac {dy'}{ds'}}\ \right)\delta y'&+&\left(\mathrm {Z} '\ -\lambda '{\frac {dz'}{ds'}}\ \right)\delta z',\end{alignedat}}$