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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et pour le dernier point du fil, où $\int$ se change en _S,

$\lambda ''{\frac {dx''}{ds''}}=\mathrm {A} +$_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} ,\quad \lambda ''{\frac {dy''}{ds''}}=\mathrm {B} +$_S$\mathrm {Y} d\mathrm {m} ,\quad \lambda ''{\frac {dz''}{ds''}}=\mathrm {C} +$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} ,$

on aura, dans le cas dont il s’agit,

$\mathrm {A} =0,\qquad \mathrm {B} =0,\qquad \mathrm {C} =0$

et

_S$\mathrm {X} d\mathrm {m} =0,\qquad$_S$\mathrm {Y} d\mathrm {m} =0,\qquad$_S$\mathrm {Z} d\mathrm {m} =0.$

Ces trois équations répondent, comme l’on voit, à celles de l’article 12 de la Section présente.

34. Supposons, en second lieu, que le fil soit attaché par un de ses bouts ou par tous les deux ; et, si c’est le premier bout qui est fixe, les variations $\delta x',\,\delta y',$ $\delta z',$ seront nulles, et il suffira d’égaler à zéro les coefficients de $\delta x'',\,\delta y'',$ $\delta z'',$ c’est-à-dire de faire $\lambda ''=0.$

Par la même raison, lorsque le second bout sera fixe, il suffira de faire $\lambda '=0.$ Mais, si les deux bouts étaient fixes à la fois, alors il n’y aurait aucune condition particulière à remplir, puisque les variations $\delta x',\,\delta y',\,\delta z',$ $\delta x'',\,\delta y'',$ $\delta z''$ seraient toutes nulles.

35. Supposons, en troisième lieu, que les extrémités du fil soient attachées à des lignes ou surfaces courbes, le long desquelles elles puissent glisser librement ; et soient, par exemple,

$dz'=a'dx'+b'dy',\quad dz''=a''dx''+b''dy''$

les équations différentielles des surfaces auxquelles le premier et le dernier point du fil sont attachés. On aura pareillement, en changeant $d$ en $\delta ,$

$\delta z'=a'\delta x'+b'\delta y',\quad \delta z'=a''\delta x''+b''\delta y''\,;$

on substituera donc ces valeurs dans les termes dont il s’agit, et l’on égalera ensuite à zéro les coefficients de $\delta x',\,\delta y',\,\delta x'',\,\delta y''.$

En général, on traitera la partie qui est hors du signe dans l’équa-