art. 6), le terme S de l’équation générale de l’équilibre du fil (art. 29) représentera la somme des moments de toutes ces forces qu’on peut supposer agir sur tous les éléments du fil ; en effet, chaque élément résiste par son inextensibilité à l’action des forces extérieures, et l’on regarde communément cette résistance comme une force active qu’on nomme tension. Ainsi la quantité exprimera la tension du fil.
32. À l’égard de la condition de l’inextensibilité du fil, représentée par l’invariabilité de chaque élément de la courbe on ne peut pas l’introduire dans l’équation de la courbe, en remplacement de l’indéterminée comme dans le cas où le fil forme un polygone, parce que, par la nature du Calcul différentiel, la valeur absolue des éléments de la courbe et, en général, de tous les éléments infiniment petites demeure indéterminée ; mais aussi, par la même raison, il n’est pas nécessaire qu’il y ait autant d’équations que de variables, et il suffit d’une équation de moins pour déterminer une ligne, soit à simple ou à double courbure. Ainsi la solution que nous venons de trouver par notre méthode est complète à l’égard des équations différentielles et ne demande plus que des intégrations qui dépendent des expressions des forces
33. Considérons maintenant les termes de l’équation générale de l’article 29 qui sont hors du signe S ; et supposons premièrement que le fil soit entièrement libre. Dans ce cas, les variations et qui répondent aux deux points extrêmes du fil, seront toutes indéterminées et arbitraires ; par conséquent, il faudra que chaque terme affecté de ces variations soit nul de lui-même. Donc il faudra que l’on ait et c’est-à-dire que la valeur de devra être nulle au commencement et à la fin du fil. On remplira cette condition par le moyen des constantes. Ainsi, comme les trois premières équations intégrales de l’article 30 donnent pour le premier point du fil, où les quantités affectées de deviennent alors nulles,
