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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

$\mathrm {A,\,B,\,C}$ étant les constantes arbitraires ; ensuite on aura, en chassant $\lambda ,$

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}=&{\frac {\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} }{\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} }},\\{\frac {dz}{dx}}=&{\frac {\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} }{\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} }},\end{aligned}}$

équations qui s’accordent avec les formules connues de la chaînette.

Si l’on veut parvenir directement à des équations purement différentielles et sans signe $\int ,$ on mettra les équations trouvées sous cette forme

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {X} d\mathrm {m} -&\lambda d{\frac {dx}{ds}}-&{\frac {dx}{ds}}d\lambda =&0,\\\mathrm {Y} d\mathrm {m} -&\lambda d{\frac {dy}{ds}}-&{\frac {dy}{ds}}d\lambda =&0,\\\mathrm {Z} d\mathrm {m} -&\lambda d{\frac {dz}{ds}}-&{\frac {dz}{ds}}d\lambda =&0\,;\end{alignedat}}$

d’où, éliminant $d\lambda ,$ on aura d’abord ces deux-ci :

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {X} dy-\mathrm {Y} dx}{ds}}d\mathrm {m} =&\lambda \left({\frac {dy}{ds}}d{\frac {dx}{ds}}-{\frac {dx}{ds}}d{\frac {dy}{ds}}\right),\\{\frac {\mathrm {X} dz-\mathrm {Z} dx}{ds}}d\mathrm {m} =&\lambda \left({\frac {dz}{ds}}d{\frac {dx}{ds}}-{\frac {dx}{ds}}d{\frac {dz}{ds}}\right).\end{aligned}}$

Ensuite, si l’on multiplie les mêmes équations respectivement par ${\frac {dx}{ds}},\,{\frac {dy}{ds}},\,{\frac {dz}{ds}},$ on aura, à cause de

${\frac {dx}{ds}}d{\frac {dx}{ds}}+{\frac {dy}{ds}}d{\frac {dy}{ds}}+{\frac {dz}{ds}}d{\frac {dz}{ds}}={\frac {1}{2}}d{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{ds^{2}}}=0,$

l’équation

$\left(\mathrm {X} {\frac {dx}{ds}}+\mathrm {Y} {\frac {dy}{ds}}+\mathrm {Z} {\frac {dz}{ds}}\right)d\mathrm {m} =d\lambda \,;$

et il n’y aura plus qu’à substituer successivement dans cette dernière équation les valeurs de $\lambda$ tirées des deux précédentes.

31. Comme la quantité $\lambda \,\delta ds$ peut représenter le moment d’une force $\lambda$ tendante à diminuer la longueur de l’élément $ds$ (sect. IV,