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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

avant $\delta ,$ suivant les règles données dans l’article 15 de la Section IV, on aura ces transformées

_S$\lambda {\frac {dx}{ds}}\delta dx=\lambda ''{\frac {dx''}{ds''}}\delta x''-\lambda '{\frac {dx'}{ds'}}\delta x'-$_S$d{\frac {\lambda dx}{ds}}\delta x,$

_S$\lambda {\frac {dy}{ds}}\delta dy\ =\lambda ''{\frac {dy''}{ds''}}\delta y''\,-\lambda '{\frac {dy'}{ds'}}\delta y'\,-$_S$d{\frac {\lambda dy}{ds}}\delta y,$

_S$\lambda {\frac {dz}{ds}}\delta dz\,\ =\lambda ''{\frac {dz''}{ds''}}\delta z''\ -\lambda '{\frac {dz'}{ds'}}\delta z'\ -$_S$d{\frac {\lambda dz}{ds}}\delta z.$

Ainsi l’équation générale de l’équilibre deviendra

_S $\left[\left(\mathrm {X} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dx}{ds}}\right)\delta x+\left(\mathrm {Y} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dy}{ds}}\right)\delta y+\left(\mathrm {Z} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dz}{ds}}\right)\delta z\right]$

$+\lambda ''{\frac {dx''}{ds''}}\delta x''+\lambda ''{\frac {dy''}{ds''}}\delta y''+\lambda ''{\frac {dz''}{ds''}}\delta z''-\lambda '{\frac {dx'}{ds'}}\delta x'-\lambda '{\frac {dy'}{ds'}}\delta y'-\lambda '{\frac {dz'}{ds'}}\delta z'=0.$

30. On égalera d’abord à zéro (sect. IV, art. 16) les coefficient de $\delta x,\,\delta y,\,\delta z$ sous le signe _S, et l’on aura ces trois équations particulières et indéfinies

${\begin{aligned}\mathrm {X} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dx}{ds}}=&0,\\\mathrm {Y} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dy}{ds}}=&0,\\\mathrm {Z} d\mathrm {m} -d{\frac {\lambda dz}{ds}}=&0\,;\end{aligned}}$

d’où, éliminant l’indéterminée $\lambda ,$ il restera deux équations qui serviront à déterminer la courbe du fil.

Cette élimination est très facile, car on n’a qu’à intégrer les équations précédentes, ce qui donnera celles-ci

${\begin{aligned}\lambda {\frac {dx}{ds}}=&\mathrm {A} +\int \mathrm {X} d\mathrm {m} ,\\\lambda {\frac {dy}{ds}}=&\mathrm {B} +\int \mathrm {Y} d\mathrm {m} ,\\\lambda {\frac {dz}{ds}}=&\mathrm {C} +\int \mathrm {Z} d\mathrm {m} ,\end{aligned}}$