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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

à la longueur totale du fil, cette formule intégrale (sect. IV, art. 12)

_S$(\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z)d\mathrm {m} \,;$

et, comme la quantité $\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z$ n’est qu’une transformée de $\mathrm {P} dp+\mathrm {Q} dq+\mathrm {R} dr+\ldots$ (art. 1), si les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ sont telles que cette quantité soit intégrable, en nommant $\Pi$ son intégrale, on aura, comme dans l’article 5 de la Section IV,

$\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z=\delta \Pi ,$

et la somme des moments sera exprimée par _S$\delta \Pi d\mathrm {m} .$

§ I. — De l’équilibre d’un fil flexible et inextensible.

29. Considérons d’abord le cas d’un fil parfaitement flexible et inextensible ; l’élément $ds$ de la courbe de ce fil étant exprimé par

${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$

il faudra, par la condition de l’inextensibilité, que $ds$ soit une quantité invariable et qu’ainsi l’on ait, par rapport à chaque élément du fil, cette équation de condition indéfinie $\delta ds=0.$ Multipliant donc $\delta ds$ par une quantité indéterminée $\lambda$ et prenant l’intégrale totale, on aura _S$\lambda \delta ds\,;$ et, si l’on n’a point d’autre équation de condition, on aura l’équation générale de l’équilibre en égalant à zéro la somme des deux intégrales _S$\delta \Pi d\mathrm {m}$ et _S$\lambda \delta ds.$

Or, ayant $ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}},$ on aura, en différentiant suivant $\delta ,$

$\delta ds={\frac {dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz}{ds}}\,;$

donc

_S$\lambda \delta ds=$_S$\lambda {\frac {dx}{ds}}\delta dx+$_S$\lambda {\frac {dy}{ds}}\delta dy+$_S$\lambda {\frac {dz}{ds}}\delta dz\,;$

changeant $\delta d$ en $d\delta$ et intégrant par parties pour faire disparaître le $d$