Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/162

144

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

il suffira de faire varier $e$ et $h,$ ce qui donnera

$de=-{\frac {h\,dh}{fg\sin e}}\,;$

cette valeur étant substituée dans l’équation précédente, il est facile de voir qu’elle deviendra de la même forme que l’équation générale de l’équilibre dans le cas de l’article 20, en supposant dans celle-ci $\nu =-{\frac {\mathrm {E} h}{fg\sin e}}\,;$ par conséquent, les équations particulières seront encore les mêmes dans les deux cas, avec cette seule différence que, dans celui de l’article cité, la quantité $\nu$ est indéterminée et doit, par conséquent, être éliminée, au lieu que, dans le cas présent, cette quantité est toute connue^[1] et qu’il n’y a que les deux indéterminées $\lambda ,\,\mu$ à éliminer ; en sorte qu’il doit rester une équation finale de plus que dans le cas cité, c’est-à-dire sept équations finales au lieu de six. Or, comme, soit que la quantité $\nu$ soit connue ou non, rien n’empêche de l’éliminer avec les deux autres $\lambda ,\mu ,$ il est clair qu’on aura aussi, dans le cas présent, les mêmes équations qu’on a trouvées dans les articles 21 et 22 ; et, pour trouver la septième équation, il n’y aura qu’à éliminer $\lambda$ dans les trois premières, ou $\mu$ dans les trois dernières des neuf équations particulières de l’article 20, et substituer pour $\nu$ sa valeur $-{\frac {\mathrm {E} h}{fg\sin e}}.$

27. Au reste, si dans la valeur de $de$ on n’avait pas voulu supposer $df$ et $dg$ nuls, on aurait eu une expression de cette forme

$de=-{\frac {h\,dh}{fg\sin e}}+\mathrm {A} df+\mathrm {B} dg,$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant des fonctions de $f,\,g,\,h,\,\sin e\,;$ alors les trois termes

$\mathrm {E} de+\lambda df+\mu dg$

1. Il faudrait, pour que $\nu$ fût considéré comme quantité connue, que $\mathrm {E}$ et $e$ le fussent eux-mêmes ; or il n’en est pas ainsi $\mathrm {E}$ est une fonction inconnue de $e$ et ne paraît pas susceptible d’une détermination directe. (J. Bertrand.)