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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

et dont les trois dernières seront

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+&\varpi {\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'}{l}}+&\rho {\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''}{m}}+&\sigma {\frac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'''}{n}}=&0,\\&\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+&\varpi {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'}{l}}+&\rho {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y''}{m}}+&\sigma {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'''}{n}}=&0,\\&\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+&\varpi {\frac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'}{l}}+&\rho {\frac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z''}{m}}+&\sigma {\frac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'''}{n}}=&0.\end{alignedat}}$

24. Comme il y a en tout douze équations et qu’il y a six indéterminées, $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\,\varpi ,\,\rho ,\,\sigma ,$ à éliminer, il ne restera, pour les conditions de l’équilibre, que six équations finales, comme dans le cas de trois corps ; et l’on trouvera, par une méthode semblable à celle de l’article 21, ces six équations, analogues à celles de cet article,

${\begin{aligned}&\mathrm {X'+X''+X'''+X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Y'+Y''+Y'''+Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Z'\,+Z''\,+Z'''\,+Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} \,=0,\end{aligned}}$

${\begin{alignedat}{5}&\mathrm {X} 'y'-&\mathrm {Y} 'x'+&\mathrm {X} ''y''-&\mathrm {Y} ''x''+&\mathrm {X} '''y'''-&\mathrm {Y} '''x'''+&\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&-\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&0,\\&\mathrm {X} 'z'-&\mathrm {Z} 'x'+&\mathrm {X} ''z''-&\mathrm {Z} ''x''+&\mathrm {X} '''z'''-&\mathrm {Z} '''x'''+&\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&-\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&0,\\&\mathrm {Y} 'z'-&\mathrm {Z} 'y'+&\mathrm {Y} ''z''-&\mathrm {Z} ''y''+&\mathrm {Y} '''z'''-&\mathrm {Z} '''y'''+&\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&-\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=&0.\end{alignedat}}$

Au lieu des trois dernières, on pourra aussi substituer les trois suivantes, qu’on trouvera par la méthode de l’article 22, et qui, étant indépendantes des équations relatives au premier corps, ont l’avantage d’avoir toujours lieu, quel que soit l’état de ce corps :

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {X} ''(y''-y')-&\mathrm {Y} ''(x''-x')&+\mathrm {X} '''(y'''-y')-&\mathrm {Y} '''&(x'''-x')&\\&&+\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y')-&\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x')&=0,\\\mathrm {X} ''(z''-z')-&\mathrm {Z} ''(x''-x')&+\mathrm {X} '''(z'''-z')-&\mathrm {Z} '''&(x'''-x')&\\&&+\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z')-&\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x')&=0,\\\mathrm {Y} ''(z''-z')-&\mathrm {Z} ''(y''-y')&+\mathrm {Y} '''(z'''-z')-&\mathrm {Z} '''&(y'''-y')&\\&&+\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z')-&\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}&(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y')&=0.\end{alignedat}}$

25. On voit maintenant comment il faudrait s’y prendre pour trouver les conditions de l’équilibre d’un nombre quelconque de