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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

ensuite, comme les distances entre tous les corps doivent demeurer constantes, on aura, par les conditions du problème, non seulement $df=0,$ $dg=0,$ $dh=0,$ comme dans le cas précédent, mais aussi $dl=0,$ $dm=0,$ $dn=0,$ en nommant $l,\,m,\,n$ les distances du quatrième corps aux trois précédents. Ainsi l’équation générale de l’équilibre sera, dans ce cas,

${\begin{aligned}\mathrm {X} 'dx'&+\mathrm {Y} 'dy'+\mathrm {Z} 'dz'+\mathrm {X} ''dx''+\mathrm {Y} ''dy''+\mathrm {Z} ''dz''\\&+\mathrm {X} '''dx'''+\mathrm {Y} '''dy'''+\mathrm {Z} '''dz'''+\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}+\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dz^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\end{aligned}}$

$+\lambda df+\mu dg+\nu dh+\varpi dl+\rho dm+\sigma dn=0.$

Les valeurs de $df,\,dg,\,dh$ sont les mêmes que ci-dessus ; quant à celles de $dl,\,dm,\,dn,$ il est visible qu’on aura

${\begin{aligned}l\,\ =&{\sqrt {(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'\ \,)^{2}+(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'\ )^{2}+(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'\ \,)^{2}}},\\m=&{\sqrt {(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''\ )^{2}+(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y''\,)^{2}+(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z''\ )^{2}}},\\n\,=&{\sqrt {(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''')^{2}+(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y''')^{2}+(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z''')^{2}}},\end{aligned}}$

et par conséquent

${\begin{aligned}&dl\,={\frac {(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'\ )(dx^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dx'\ \,)+(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'\ )(dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dy'\ \,)+(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'\,\ )(dz^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dz'\ )}{l}},\\&dm={\frac {(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''\,)(dx^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dx''\,)+(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'')(dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dy''\ )+(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z''\ )(dz^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dz'')}{m}},\\&dn\,={\frac {(x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''')(dx^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dx''')+(y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y''')(dy^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dy''')+(z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z''')(dz^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-dz''')}{n}}.\end{aligned}}$

Faisant ces substitutions et égalant à zéro la somme des termes affectés de chacune des différences $dx',\,dy',\ldots ,$ on trouvera douze équations particulières, dont les neuf premières seront les mêmes que celles de l’article 20, en ajoutant respectivement à leurs premiers membres les quantités suivantes

${\begin{array}{lll}-\varpi {\cfrac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'}{l}},\quad &-\varpi {\cfrac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'}{l}},\quad &-\varpi {\cfrac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'}{l}},\\-\rho {\cfrac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x''}{m}},\quad &-\rho {\cfrac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y''}{m}},\quad &-\rho {\cfrac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z''}{m}},\\-\sigma {\cfrac {x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'''}{n}},\quad &-\sigma {\cfrac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'''}{n}},\quad &-\sigma {\cfrac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'''}{n}},\end{array}}$