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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

On voit par là comment il faudrait s’y prendre, s’il y avait un plus grand nombre de corps dont les uns fussent attachés fixement au fil et dont les autres y pussent couler librement.

§ II. — De l’équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à une verge
inflexible et raide.

20. Supposons maintenant que les trois corps soient unis par une verge inflexible, en sorte qu’ils soient obligés de garder toujours entre eux les mêmes distances ; il faudra, dans ce cas, que l’on ait non seulement $df=0$ et $dg=0,$ mais que la différentielle de la distance entre le premier et le troisième corps, que nous désignerons par $h,$ soit aussi nulle ; par conséquent, en prenant trois coefficients indéterminés, $\lambda ,\mu ,\nu ,$ on aura cette équation générale de l’équilibre

${\begin{aligned}\mathrm {X} 'dx'&+\mathrm {Y} 'dy'+\mathrm {Z} 'dz'+\mathrm {X} ''dx''+\mathrm {Y} ''dy''+\mathrm {Z} ''dz''\\&+\mathrm {X} '''dx'''+\mathrm {Y} '''dy'''+\mathrm {Z} '''dz'''+\lambda df+\mu dg+\nu dh=0.\end{aligned}}$

Les valeurs de $df$ et $dg$ ont été déjà données ci-dessus ; à l’égard de celle de $dh,$ il est clair qu’on aura

$h={\sqrt {(x'''-x')^{2}+(y'''-y')^{2}+(z'''-z')^{2}}}$

et par conséquent

$dh={\frac {(x'''-x')(dx'''-dx')+(y'''-y')(dy'''-dy')+(z'''-z')(dz'''-dz')}{h}}.$

Faisant ces substitutions et égalant à zéro la somme des termes affectés de chacune des différences $dx',\,dy',\ldots ,$ on aura ces neuf équations particulières

${\begin{alignedat}{4}&\mathrm {X} '&-&\lambda {\frac {x''-x'}{f}}&-&\nu {\frac {x'''-x'}{h}}&=&0,\\&\mathrm {Y} '&-&\lambda {\frac {y''-y'}{f}}&-&\nu {\frac {y'''-y'}{h}}&=&0,\\&\mathrm {Z} '&-&\lambda {\frac {z''-z'}{f}}&-&\nu {\frac {z'''-z'}{h}}&=&0,\end{alignedat}}$