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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

couler le long du fil ; dans ce cas, la condition du problème sera que la somme des distances entre le premier et le deuxième corps, et entre le deuxième et le troisième, soit constante ; ainsi, nommant, comme ci-dessus, $f$ et $g$ ces distances, on aura $f+g=\mathrm {const}$ et, par conséquent, $df+dg=0.$

On multipliera donc la quantité différentielle $df+dg$ par un coefficient indéterminé $\lambda ,$ et on l’ajoutera à la somme des moments des différentes forces qu’on suppose agir sur les corps, ce qui donnera cette équation générale de l’équilibre

${\begin{aligned}\mathrm {X} 'dx'&+\mathrm {Y} 'dy'+\mathrm {Z} 'dz'+\mathrm {X} ''dx''+\mathrm {Y} ''dy''+\mathrm {Z} ''dz''\\&+\mathrm {X} '''dx'''+\mathrm {Y} '''dy'''+\mathrm {Z} '''dz'''+\lambda (df+dg)=0\,;\end{aligned}}$

d’où (en substituant les valeurs de $df$ et $dg$ et égalant à zéro la somme des termes affectés de chacune des différences $dx',\,dy',\ldots$) on tirera les équations suivantes pour l’équilibre du fil

${\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} '&-&\lambda {\frac {x''-x'}{f}}=0,\\&\mathrm {Y} '&-&\lambda {\frac {y''-y'}{f}}=0,\\&\mathrm {Z} '&-&\lambda {\frac {z''-z'}{f}}=0,\\&\mathrm {X} ''&+&\lambda \left({\frac {x''-x'}{f}}-{\frac {x'''-x''}{g}}\right)=0,\\&\mathrm {Y} ''&+&\lambda \left({\frac {y''-y'}{f}}\ -{\frac {y'''-y''}{g}}\right)=0,\\&\mathrm {Z} ''&+&\lambda \left({\frac {z''-z'}{f}}\ \,-{\frac {z'''-z''}{g}}\right)=0,\\&\mathrm {X} '''&+&\lambda {\frac {x'''-x''}{g}}=0,\\&\mathrm {Y} '''&+&\lambda {\frac {y'''-y''}{g}}=0,\\&\mathrm {Z} '''&+&\lambda {\frac {z'''-z''}{g}}=0\end{alignedat}}$

dans lesquelles il n’y aura plus qu’à éliminer l’inconnue $\lambda .$