Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 11.djvu/152

Cette page a été validée par deux contributeurs.

134

MÉCANIQUE ANALYTIQUE

et égalant à zéro la somme des termes affectés de chacune des différences $dx',\,dy',\ldots ,$ on aura les équations suivantes pour l’équilibre du fil dans le cas dont il s’agit

{\begin{alignedat}{3}&\mathrm {X} '&-&\,\mathrm {F} &{\frac {x''-x'}{f}}&=\,0,\\&\mathrm {Y} '&-&\,\mathrm {F} &{\frac {y''-y'}{f}}&=\,0,\\&\mathrm {Z} '&-&\,\mathrm {F} &{\frac {z''-z'}{f}}&=\,0,\\&\mathrm {X} ''&+&\,\mathrm {F} &{\frac {x''-x'}{f}}&-\,\mathrm {G} \,{\frac {x'''-x''}{g}}=\,0,\\&\mathrm {Y} ''&+&\,\mathrm {F} &{\frac {y''-y'}{f}}&-\,\mathrm {G} \,{\frac {y'''-y''}{g}}=\,0,\\&\mathrm {Z} ''&+&\,\mathrm {F} &{\frac {z''-z'}{f}}&-\,\mathrm {G} \,{\frac {z'''-z''}{g}}=\,0,\\&\mathrm {X} '''&+&\,\mathrm {G} &{\frac {x'''-x''}{g}}&=\,0,\\&\mathrm {Y} '''&+&\,\mathrm {G} &{\frac {y'''-y''}{g}}&=\,0,\\&\mathrm {Z} '''&+&\,\mathrm {G} &{\frac {z'''-z''}{g}}&=\,0,\\\end{alignedat}}

lesquelles sont analogues à celles du même article pour le cas où le fil est inextensible et donnent, par la comparaison, $\lambda =\mathrm {F} ,\,\mu =\mathrm {G} ,\ \ldots .$

D’où l’on voit que les quantités $\mathrm {F,\,G} ,\ldots$ ^[1], qui expriment ici les forces des fils supposés élastiques, sont les mêmes que celles que nous avons trouvées ci-dessus (art. 16), pour exprimer les forces des mêmes fils dans la supposition qu’ils soient inextensibles.

19. Reprenons encore le cas d’un fil inextensible chargé de trois corps, mais supposons en même temps que le corps du milieu puisse

↑ Il est évident, a priori, qu’il doit en être ainsi ; et, si Lagrange s’est abstenu de le faire remarquer, c’est pour la raison indiquée plus haut (art. 12). On comprend, en effet, qu’une fois l’équilibre établi, le fil ayant pris une certaine longueur qui ne varie plus, peu importe que cette longueur soit ou ne soit pas assujettie à demeurer constante. (J. Bertrand.)

[1] Il est évident, a priori, qu’il doit en être ainsi ; et, si Lagrange s’est abstenu de le faire remarquer, c’est pour la raison indiquée plus haut (art. 12). On comprend, en effet, qu’une fois l’équilibre établi, le fil ayant pris une certaine longueur qui ne varie plus, peu importe que cette longueur soit ou ne soit pas assujettie à demeurer constante. (J. Bertrand.)

[1]