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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

On considérera donc que l’on a, dans le cas présent,

${\begin{aligned}&d\mathrm {L} \ =df=&{\frac {(x''\,-x'\ )(dx''\ -dx'\ )+(y''-y'\,)(dy''\,-dy'\,)+(z''\,-z'\,)(dz''\,-dz')}{f}},\\&d\mathrm {M} =dg=&{\frac {(x'''-x'')(dx'''-dx'')+(y'''-y'')(dy'''-dy'')+(z'''-z'')(dz'''-dz'')}{g}},\\\end{aligned}}$

 

Donc :

1^o On aura, par rapport au premier corps dont les coordonnées sont $x',y',z',$

${\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x'}}=-{\frac {x''-x'}{f}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y'}}=-{\frac {y''-y'}{f}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z'}}=-{\frac {z''-z'}{f}}\,;$

donc

${\sqrt {\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y'}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z'}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}{f}}=1.$

Ainsi le premier corps recevra par l’action des autres une force égale à $\lambda$ et dont la direction sera perpendiculaire à la surface représentée par l’équation $d\mathrm {L} =df=0,$ en y faisant varier simplement $x',\,y',\,z'\,;$ or il est visible que cette surface n’est autre chose qu’une sphère dont le rayon est $f$ et dont le centre répond aux coordonnées $x'',\,y'',\,z''\,;$ par conséquent, la force $\lambda$ sera dirigée suivant ce même rayon, c’est-à-dire le long du fil qui joint le premier et le second corps.

2^o On aura de même, par rapport au second corps dont les coordonnées sont $x'',\,y'',\,z'',$

${\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x''}}={\frac {x''-x'}{f}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y''}}={\frac {y''-y'}{f}},\qquad {\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z''}}={\frac {z''-z'}{f}}\,;$

donc

${\sqrt {\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial x''}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial y''}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial \mathrm {L} }{\partial z''}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {(x''-x')^{2}+(y''-y')^{2}+(z''-z')^{2}}}{f}}=1\,;$

d’où il s’ensuit que le second corps recevra aussi une force $\lambda$ dirigée perpendiculairement à la surface dont l’équation est $d\mathrm {L} =df=0,$ en faisant varier $x'',\,y'',\,z''\,;$ cette surface est de nouveau une sphère dont