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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

13. Si le fil, supposé toujours inextensible, était chargé de quatre corps, tirés respectivement par les forces $\mathrm {X',\,Y',\,Z'} \,;$ $\mathrm {X'',\,Y'',\,Z''} \,;$ $\mathrm {X} ''',\ldots ,$ suivant les directions des trois axes des coordonnéesrectangles, on trouverait, par des procédés semblables qu’il me paraît inutile de répéter, les neuf équations suivantes pour l’équilibre de ces quatre corps :

${\begin{aligned}&\mathrm {X'\ \,+X''\ +X'''+X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Y'\ \,+Y''\ +Y'''+Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Z'\ \ +Z''\ \,+Z'''\,+Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} \,=0,\\&\mathrm {Y''\,+Y'''+Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} -{\frac {y''-y'}{x''-x'}}\mathrm {X''+X'''+X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Z''\ +Z'''\ +Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} \,-{\frac {z''-z'}{x''-x'}}\mathrm {X''+X'''+X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Y'''+Y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} -{\frac {y'''-y''}{x'''-x''}}\mathrm {X'''+X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Z'''\,+Z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} \,-{\frac {z'''-z''}{x'''-x''}}\mathrm {X'''+X^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}} =0,\\&\mathrm {Y} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-{\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-y'''}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'''}}\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0,\\&\mathrm {Z} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}\ -{\frac {z^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-z'''}{x^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}-x'''}}\mathrm {X} ^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}=0.\end{aligned}}$

Il est facile maintenant d’étendre cette solution à tel nombre de corps qu’on voudra, et même au cas de la funiculaire ou chaînette ; mais nous traiterons ce cas en particulier, par la méthode exposée dans le § II de la Section précédente.

14. On aurait une solution plus simple à quelques égards, si l’on introduisait d’abord dans le calcul l’invariabilité des distances $f,\,g,\ldots .$

Ainsi, en se bornant au cas de trois corps et nommant $\psi ,\,\psi '$ les angles que les lignes $f,\,g$ font avec le plan des $x,\,y,$ et $\varphi ,\,\varphi '$ les angles que les projections de ces lignes sur le même plan font avec l’axe des $x,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}x''\,-x'\ =&f\cos \varphi \cos \psi ,\qquad &y''\,-y'\ =&f\sin \varphi \cos \psi ,\qquad &z''\,-z'\ =&f\sin \psi ,\\x'''-x''=&f\cos \varphi '\cos \psi ',&y'''-y''=&f\sin \varphi '\cos \psi ',&z'''-z''=&f\sin \psi '.\end{alignedat}}$