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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

ces valeurs étant substituées, on aura les neuf équations suivantes pour les conditions de l’équilibre du fil

${\begin{aligned}\mathrm {X} '\ \,&-\lambda {\frac {x''-x'}{f}}=0,\\\mathrm {Y} '\ \,&-\lambda {\frac {y''-y'}{f}}\,=0,\\\mathrm {Z} '\ \,&-\lambda {\frac {z''-z'}{f}}\,=0\,;\\\mathrm {X} ''\ &+\lambda {\frac {x''-x'}{f}}-\mu {\frac {x'''-x''}{g}}=0,\\\mathrm {Y} ''\ &+\lambda {\frac {y''-y'}{f}}-\mu {\frac {y'''-y''}{g}}=0,\\\mathrm {Z} ''\ &+\lambda {\frac {z''-z'}{f}}-\mu {\frac {z'''-z''}{g}}=0\,;\\\mathrm {X} '''&+\mu {\frac {x'''-x''}{g}}=0,\\\mathrm {Y} '''&+\mu {\frac {y'''-y''}{g}}\,=0,\\\mathrm {Z} '''&+\mu {\frac {z'''-z''}{g}}\,=0\,;\end{aligned}}$

et il n’y aura plus qu’à éliminer de ces équations les deux inconnues $\lambda$ et $\mu \,;$ ce qui peut se faire de plusieurs manières, lesquelles fourniront aussi des équations différentes, ou présentées différemment, pour l’équilibre des trois corps attachés au fil : nous choisirons celle qui paraîtra la plus simple.

On voit d’abord que, si l’on ajoute respectivement les trois premières équations aux trois suivantes et aux trois dernières, on obtient ces trois-ci, délivrées des inconnues $\lambda$ et $\mu ,$

${\begin{aligned}\mathrm {X'+X''+X'''} =&0,\\\mathrm {Y'+Y''+Y'''} =&0,\\\mathrm {Z'+\,Z''+\,Z'''} =&0,\\\end{aligned}}$

lesquelles montrent que la somme de toutes les forces parallèles à chacun des trois axes des coordonnées doit être nulle, et ne sont