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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

Ayant $\mathrm {L,\,M,\,N} ,\ldots$ ou seulement leurs différentielles en fonctions de $x',\,y',\,z',$ $x'',\ldots$ et prenant des coefficients indéterminés $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,\ldots ,$ on ajoutera à la quantité précédente les termes

$\lambda d\mathrm {L} +\mu d\mathrm {M} +\nu d\mathrm {N} +\ldots ,$

et l’on égalera ensuite séparément à zéro les membres affectés de chacune des différences $dx',\,dy',\,dz',\,dx'',\ldots$ (sect. IV, art. 5).

§ I. — De l’équilibre de trois ou plusieurs corps attachés à un fil
inextensible ou extensible et susceptible de contraction.

12. Considérons premièrement trois corps attachés fixement à un fil inextensible ; les conditions du problème sont que les distances entre le premier et le deuxième corps, et entre le deuxième et le troisième, soient invariables, ces distances étant les longueurs des portions de fil interceptées entre les corps.

Nommant $f$ la première de ces distances et $g$ la seconde, on aura

$df=0,\quad dg=0,$

pour les équations de condition ; donc

$d\mathrm {L} =df,\quad d\mathrm {M} =dg,$

et l’équation générale de l’équilibre des trois corps sera

${\begin{aligned}\mathrm {X} 'dx'&+\mathrm {Y} 'dy'+\mathrm {Z} 'dz'+\mathrm {X} ''dx''+\mathrm {Y} ''dy''+\mathrm {Z} ''dz''\\&+\mathrm {X} '''dx'''+\mathrm {Y} '''dy'''+\mathrm {Z} '''dz'''+\lambda df+\mu dg=0.\end{aligned}}$

Or il est visible qu’on aura

${\begin{aligned}f=&{\sqrt {(x''\,-x'\ )^{2}+(y''\,-y'\ )^{2}+(z''\,-z'\ )^{2}}},\\g=&{\sqrt {(x'''-x'')^{2}+(y'''-y'')^{2}+(z'''-z'')^{2}}}\,;\end{aligned}}$

donc, en différentiant,

${\begin{aligned}df=&{\frac {(x''\,-x'\ )(dx''\,-dx'\ )+(y''-y'\ )(dy''\,-dy'\ )+(z''\,-z'\ )(dz''\,-dz'\ )}{f}},\\dg=&{\frac {(x'''-x'')(dx'''-dx'')+(y'''-y'')(dy'''-dy'')+(z'''-z'')(dz'''-dz'')}{g}}\,;\end{aligned}}$