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MÉCANIQUE ANALYTIQUE

rentiation relative à $\xi ,$ on pourra donner à l’intégrale dont il s’agit la forme ${\frac {\partial }{\partial \xi }}$_S$\operatorname {F} (p)d\mathrm {m} ,$ de sorte qu’en faisant

_S$\operatorname {F} (p)d\mathrm {m} =\Sigma ,$

on aura

$\Xi ={\frac {\partial \Sigma }{\partial \xi }},\quad \Psi ={\frac {\partial \Sigma }{\partial \psi }},\quad \Phi ={\frac {\partial \Sigma }{\partial \varphi }},$

et il ne s’agira plus que de substituer au lieu de $p,$ dans la fonction $\operatorname {F} (p),$ sa valeur exprimée en fonction des coordonnées qui déterminent la position de chaque particule $d\mathrm {m}$ dans l’espace et des coordonnées $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ du point attiré, et d’exécuter ensuite séparément l’intégration relative aux premières et les différentiations relatives aux dernières.

Dans le cas de la nature, on a $f(p)={\frac {1}{p^{2}}}\,;$ donc $\operatorname {F} (p)=-{\frac {1}{p}},$ et, par conséquent, $\Sigma =-$_S${\frac {d\mathrm {m} }{p}}.$

Soient $a,\,b,\,c$ les coordonnées de chaque particule $d\mathrm {m}$ du corps ; on aura, en supposant la densité de cette particule exprimée par $\Gamma$ fonction de $a,\,b,\,c,$

$d\mathrm {m} =\Gamma da\,db\,dc\,;$

donc

$\Sigma =-$_S${\frac {\Gamma da\,db\,dc}{p}}.$

Or, $x,\,y,\,z$ étant les coordonnées du point attiré, on a (art. 1)

$p={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}\,;$

donc

$\Sigma =-$_S${\frac {\Gamma da\,db\,dc}{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}}.$

10. Le cas le plus simple est celui où le corps attirant est une sphère. Dans ce cas, en faisant $\Gamma =1$ et supposant le centre de la sphère dans l’origine des coordonnées $x,\,y,\,z$ du point attiré, on a

$\Sigma =-{\frac {\mathrm {m} }{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}},$