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PREMIÈRE PARTIE. — SECTION V.

8. En général, si des forces quelconques $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ dirigées suivant les lignes $p,\,q,\,r,\ldots ,$ agissent sur un même point, on peut toujours réduire toutes ces forces à trois autres dirigées suivant les lignes $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ pourvu que ces trois lignes ne soient pas toutes dans le même plan. Car, comme trois lignes placées dans différents plans suffisent pour déterminer la position d’un point quelconque dans l’espace, on pourra toujours exprimer les valeurs des lignes $p,\,q,\,r,\ldots$ en fonctions des trois quantités $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ et, par le théorème de l’article 15 de la Section II, les forces $\mathrm {P,\,Q,\,R} ,\ldots$ seront équivalentes^[1] aux trois forces $\Xi ,\Psi ,\Phi ,$ exprimées par les formules

${\begin{aligned}\Xi =&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \xi }}\,+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \xi }}\,+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \xi }}+\ldots ,\\\Psi =&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \psi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \psi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \psi }}+\ldots ,\\\Phi =&\mathrm {P} {\frac {\partial p}{\partial \varphi }}+\mathrm {Q} {\frac {\partial q}{\partial \varphi }}+\mathrm {R} {\frac {\partial r}{\partial \varphi }}+\ldots ,\end{aligned}}$

et dirigées suivant les lignes $\xi ,\,\psi ,\,\varphi ,$ ou seulement suivant les éléments $d\xi ,\,d\psi ,$ $d\varphi ,$ si quelques-unes de ces lignes étaient circulaires.

Ces formules peuvent être d’une grande utilité dans plusieurs occasions, et surtout lorsqu’il s’agit de trouver les résultantes d’une infinité de forces qui agissent sur un même point, comme l’attraction d’un corps de figure quelconque.

9. Soit $\mathrm {m}$ la masse d’un corps dont chacun des éléments $d\mathrm {m}$ soit regardé comme le centre d’une force $\mathrm {P}$ proportionnelle à $d\mathrm {m}$ et à une fonction $f(p)$ de la distance $p\,;$ en faisant $\int f(p)dp=\operatorname {F} (p),$ l’élément $d\mathrm {m}$ donnera, dans l’expression de $\Xi ,$ le terme ${\frac {\partial \operatorname {F} (p)}{\partial \xi }}d\mathrm {m} ,$ dont l’intégrale relative à toute la masse $\mathrm {m}$ sera le résultat de l’attraction de cette masse ; et, comme cette intégration est indépendante de la diffé-

1. Nous avons remarqué plus haut que ce théorème est soumis à des restrictions. La même observation s’applique à la conclusion qu’on en déduit-ici. Voir une Note de M. Poinsot à la fin du Volume. (J. Bertrand.)